קלינגר גדל במחלקת הנוער של מכבי חיפה ובתחילת הקריירה שיחק כחלוץ. קלינגר שיחק שש שנים בקבוצה הבוגרת של המועדון, עמה זכה בשתי אליפויות, ובעונת 1988/1989 זכה בתואר כדורגלן העונה בישראל.[2] בשנת 1990 עבר קלינגר לקבוצת מכבי תל אביב[3] ושיחק שם שמונה שנים. בשנת 2012 סיפר קלינגר שהסיבה שבגללה עזב את מכבי חיפה הייתה מותו של חברו לקבוצה אבי רן.[4]
במדי מכבי תל אביב זכה קלינגר בשלוש אליפויות ובשני גביעי מדינה. פעמיים ברציפות הוא בישל את השער שהכריע את גורל האליפות: בעונת 1994/1995 בישל את שערו של אלון ברומר בניצחון 1–0 מול הפועל באר שבע במחזור ה-30, ובעונת 1995/1996 בישל את שערו של אבי נמני בניצחון 1–0 מול בית"ר ירושלים במחזור ה-29. בעונת 1997/1998 פרש ממשחק פעיל עקב פציעה.
בתחילת 1985 זומן לנבחרת ישראל לנוער,[5] ושיחק במסגרתה בטורניר באוסטרליה.[6] באפריל 1985 זומן לראשונה לנבחרת העתודה.[7]
בנבחרת ישראל רשם קלינגר 83 הופעות, בהן כבש שני שערים, בין השנים 1987–1997, ואף שימש קפטן הנבחרת מאוגוסט 1992 ועד לפרישתו. קלינגר מדורג במקום השישי בטבלת שיאני ההופעות של הנבחרת בכל הזמנים, לצידו של מרדכי שפיגלר.
לאחר פרישתו ממשחק פעיל התמנה לתפקיד עוזר מאמן מכבי תל אביב למשך שנתיים, תחת אברהם גרנט, והיה שותף לזכייה בגביע הטוטו. בעונת 2000/2001 עבר לאמן את קבוצת בית"ר באר שבע מהליגה הלאומית עד שבעונת 2002/2003 עבר לאמן את קבוצת מכבי תל אביב וזכה עמה באליפות בעונתו הראשונה כמאמן ראשי בליגת העל, אחרי שבע שנים בהן לא זכתה הקבוצה בתואר זה. בעונה זו התגלעו מחלוקות בין כוכבי הקבוצה, אבי נמני וטל בנין לבין קלינגר, שהחליט להושיב את השניים על הספסל, ובתום העונה אף לשחררם מהקבוצה.
את עונת 2003/2004 סיימה מכבי תל אביב במקום השני אשר הוביל באותה עונה לשלב המוקדמות בליגת האלופות. הקבוצה, תחת הדרכתו של קלינגר העפילה בעונה שלאחר מכן למפעל, והייתה לקבוצה הישראלית השנייה, אחרי מכבי חיפה, שמשתתפת בטורניר זה. באותה עונה (2004/2005) זכתה הקבוצה בגביע המדינה.
בעונת 2005/2006 ביצעה מכבי תל אביב בהדרכתו של קלינגר רכש משמעותי. לקבוצה הוחזר אבי נמני, והוחתמו בה בין היתר אייל ברקוביץ' וג'ובאני רוסו. הקבוצה מכרה לקראת העונה כ-10,000 מנויים, ונחשבה להבטחה גדולה. התקשורת כינתה את הקבוצה "גלאקטיקוס" (בדומה לכינוי של קבוצת הכדורגל הספרדית ריאל מדריד, על שלל כוכביה). עונה זו נסתיימה בכישלון, ועוד במהלכה, ב-5 בדצמבר2005 הודיע קלינגר לבעלים לוני הרציקוביץ' על התפטרותו.
במאי 2010 חזר קלינגר לישראל וחתם בהפועל באר שבע מליגת העל. את עונת 2011/2012 פתחה קבוצתו עם שישה הפסדים ברציפות, אך דווקא לאחר ניצחונה הראשון לעונה זו, בתחילת אוקטובר 2011, הודיע קלינגר על התפטרותו. ב-10 בינואר2012 שב לאמן את אנוסיס נאון פראלימני, כשחתם עם המועדון על חוזה עד לסיום עונת 2011/2012. באפריל 2012 התפטר מתפקידו.
ב-23 במאי2012 חתם קלינגר לעונה אחת כמאמן הפועל חיפה. תחת הדרכתו זכתה הקבוצה בגביע הטוטו, והיא סיימה את עונת 2012/2013 במקום התשיעי.
ב-19 במאי2013 מונה קלינגר למאמן מועדון ספורט אשדוד. קלינגר שימש כמאמן הקבוצה במשך שנתיים, ובתום עונת 2014/2015 ירדה הקבוצה לליגה הלאומית לאחר שסיימה במקום האחרון בליגת העל, וקלינגר סיים את תפקידו במועדון.
ב-15 בנובמבר2015 מונה למנהלה המקצועי של מכבי שעריים,[8] וחתם על חוזה לשלוש שנים במועדון. ב-22 בנובמבר2016 מונה למאמנה הזמני של הקבוצה בעקבות פיטוריו של המאמן אלי מחפוד. בדצמבר 2016 התפטר מתפקידיו כמאמן וכמנהל מקצועי.
ב-25 באוקטובר2018 התפטר קלינגר מתפקידו כמאמן הפועל חיפה,[10] וכעבור שלושה ימים מונה למאמן בית"ר ירושלים.[11] ב-14 במרץ2019 חש קלינגר ברע בזמן אימון הקבוצה, ולאחר שאושפז בבית החולים התבצע צינתור בליבו,[12] ועוזרו ניסן יחזקאל החליפו למשך ארבעה משחקים. ב-27 באפריל2019 חזר קלינגר לתפקידו בניצחון הקבוצה על עירוני קריית שמונה. בתום העונה סיימה הקבוצה במקום השביעי, והנהלת המועדון הודיעה לקלינגר על סיום תפקידו.[13]
ב-5 בנובמבר 2019 מונה קלינגר למאמן הפועל תל אביב.[14] בעונתו הראשונה הוביל אותה לפלייאוף העליון לראשונה מאז 2014, ולחצי גמר גביע המדינה.
ב-2 ביוני 2021, במהלך גמר גביע המדינה נגד מכבי תל אביב, הפנה ניר תנועה מגונה כלפי אוהדיה של האחרונה ונענש בכך על ידי ההתאחדות לכדורגל בעונש הרחקה של 6 משחקים בפועל.[15]
