אלגברת אוקטוניונים

במתמטיקה, אלגברת אוקטוניונים היא אלגברה אלטרנטיבית פשוטה מממד 8. אלגבראות אוקטוניונים (מעל שדה) מתקבלות על ידי בניית קיילי-דיקסון מאלגברת קווטרניונים, והן קשורות למבנים מרכזיים באלגברה לא אסוציאטיבית, ובפרט לאלגבראות לי וחבורות ליניאריות מטיפוס G2. הדוגמה החשובה ביותר לאלגברת אוקטוניונים היא אלגברת האוקטוניונים של קיילי, שהיא אלגברת החילוק היחידה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים. כל חוג אלטרנטיבי פשוט שאינו נילי ואינו אסוציאטיבי הוא אלגברת אוקטוניונים .

כפי שאלגברת קווטרניונים מוגדרת על-פי שני קבועים מעל שדה הבסיס, אלגברת אוקטוניונים מוגדרת על-פי שלושה קבועים: האלגברה $\ (Q,\gamma )=(\alpha ,\beta ,\gamma )$ היא זו המתקבלת בבניית קיילי-דיקסון מאלגברת הקווטרניונים $\ Q=(\alpha ,\beta )=F[x,y|x^{2}=\alpha ,y^{2}=\beta ,yx=-xy]$ (ההצגה - בהנחה שהמאפיין שונה מ-2) על ידי סיפוח איבר z המקיים $\ z^{2}=\gamma$.

מעל כל שדה, יש אלגברת אוקטוניונים מפוצלת אחת, וכל שאר אלגברות האוקטוניונים הן אלגברות עם חילוק.

אלגברת האוקטוניונים המפוצלת

את אלגברת האוקטוניונים המפוצלת אפשר להציג באמצעות וקטורי צורן, $\ \left({\begin{array}{cc}a&{\vec {u}}\\{\vec {v}}&b\end{array}}\right)$, עם פעולת החיבור הטבעית ופעולת כפל המשתמשת במכפלה הווקטורית.

אם יש באלגברת אוקטוניונים אידמפוטנט, אז היא מפוצלת, ושווה ל- $\ C=Q[z]$ כאשר Q אלגברת קווטרניונים כלשהי ו- $\ z^{2}=1$. במקרה זה, $\ e={\frac {1}{2}}(z+1)$ אידמפוטנט, וביחס אליו המרכיבים בפירוק פירס הם $\ C_{00}=F(z-1),C_{11}=F(z+1),C_{01}=(z-1)Q_{0},C_{10}=(z+1)Q_{0}$, כאשר $\ Q_{0}$ הוא מרחב האיברים בעלי עקבה 0 ב-Q.

נורמה

תבנית הנורמה של אלגברת אוקטוניונים קובעת את האלגברה - לפי משפט של נתן ג'ייקובסון, שתי אלגבראות אוקטוניונים ממאפיין שונה מ-2 $C,C'$ עם תבניות נורמה $n,n'$ הן איזומורפיות אם ורק אם תבניות הנורמה שלהן שקולות (כלומר קיים איזומורפיזם $f\colon C\to C'$ כך ש-$n'(f(x))=n(x)$.

אלגברת הנגזרות

מעל שדות ממאפיין שונה מ-2 ו-3, אלגברת הנגזרות של אלגברת אוקטוניונים היא אלגברת לי פשוטה מטיפוס G2. במאפיין שאינו 2 או 3, כל נגזרת של האלגברה היא סכום של פעולות מהצורה $\ R_{[x,y]}-L_{[x,y]}-3[L_{x},R_{y}]$.

קישורים חיצוניים

• אלגברת אוקטוניונים, באתר MathWorld (באנגלית)