חבורת הייזנברג

בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל $3\times 3$, עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.

הגדרה

יהי $R$ חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג $R$ היא החבורה שאיבריה הם המטריצות: ${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}$, כאשר $a,b,c\in R$. הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה. המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל: ${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+c'+ab'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,$

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים $a,b,c\in R$ יהיו הפיכים בעצמם):${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,$.

חבורת הייזנברג מסדר $2n+1$ היא: $H_{2n+1}(R)={\Bigg \{}{\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &\cdots &a_{n+1}\\0&1&0&\cdots &0&a_{n+2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0&a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1&a_{2n+1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\ {\Bigg |}\ a_{1},\dots ,a_{2n+1}\in R{\Bigg \}}$.

דוגמאות

חבורת הייזנברג הממשית

כאשר החוג $R$ הוא שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$, מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

חבורת הייזנברג הבדידה

כאשר החוג $R$ הוא חוג המספרים השלמים $\mathbb {Z}$, מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית חופשית ממחלקה 2, ונוצרת על ידי:$x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

לחבורה הייצוג הבא: $<x,y,z|z_{}^{}=[x,y],\ [x,z]=e,\ [y,z]=e>$, כאשר $x,y$ הם כדלעיל ו-$z=xyx^{-1}y^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$.

במקרה זה, האיבר $z$ יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה${\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,$.

בתור חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, לחבורת הייזנברג הדיסקרטית גידול פולינומי וממד גלפנד-קירילוב שלה הוא 4. מתברר כי ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית, טור הילברט של חבורת הייזנברג הוא פונקציה רציונלית (היינו, מנה של שני פולינומים במקדמים שלמים). תופעה זו, המכונה 'פאן-רציונליות', הוכחה על ידי דוצ'ין ושפירו.

מעל שדה סופי

חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי $\mathbb {Z} _{p}$ היא מסדר $p^{3}$ ומאקספוננט $p$. ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

$z=[x,y],\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ [x,z]=e,\ [y,z]=e$

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות - חבורת-p בה המרכז $C$ איזומורפי ל-$\mathbb {Z} _{p}$ וחבורת המנה $G/C$ היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר $p$.

במקרה של $p=2$, מתקבלת החבורה הדיהדרלית $D_{4}$.

אלגברת לי המתאימה

לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

${\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$,

עם הבסיס הבא:

$X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$

איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

$[X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0$

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.

קישורים חיצוניים

• חבורת הייזנברג, באתר MathWorld (באנגלית)