גידול של חבורה

גידול של חבורה הוא האופן שבו חבורה, בדרך כלל אינסופית, מכוסה על ידי מילים הולכות ומתארכות בקבוצת יוצרים נתונה.

פונקציית הגידול והקצב

תהי G חבורה הנוצרת על ידי קבוצת יוצרים סופית, X. בדרך כלל מניחים שהקבוצה סימטרית להיפוך. מסמנים ב-$B_{X}(n)$ את קבוצת האיברים שאפשר להציג כמכפלה של לכל היותר $n$ איברים של X. פונקציית הגידול המתאימה ל-X היא הפונקציה $\ f(n)=|B_{X}(n)|$. כאשר G אינסופית, זוהי פונקציה עולה ממש. מגדירים יחס שקילות על הפונקציות העולות, לפיו $\ f\equiv g$ אם יש קבוע c כך ש-$\ f(n)\leq c\cdot g(cn)$, וגם להפך. כל פונקציות הגידול של אותה חבורה שקולות זו לזו.

לחבורה נוצרת סופית יש פונקציית גידול פולינומי אם ורק אם היא נילפוטנטית-למעשה (virtually nilpotent). מכאן נובע שבמקרה כזה המעלה של פונקציית הגידול היא מספר שלם. המספר $\lim {\sqrt[{n}]{|B_{X}(n)|}}$ הוא קצב הגידול המעריכי (ביחס ל-X). הקצב הוא 1 כאשר פונקציית הגידול היא תת-מעריכית. יש חבורות שקצב הגידול שלהן ביחס לכל קבוצת יוצרים X גדול מ-1, אבל האינפימום שווה ל-1. אם האינפימום של הקצבים האלה גדול מ-1, החבורה היא בעלת גידול מעריכי. לדוגמה, לחבורה חופשית (לא אבלית) יש גידול מעריכי. בחבורה לא אמנבילית קצב הגידול ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית גדול מ-1.

טור הילברט

תהי f פונקציית הגידול של החבורה ביחס לקבוצת יוצרים סופית X. טור הילברט של החבורה (ביחס ל-X) הוא טור החזקות $\ \sum _{n=0}^{\infty }f(n)x^{n}$. הטור מעניין במיוחד כאשר הוא מייצג פונקציה רציונלית במשתנה x. חבורה נקראת 'פאן-רציונלית' אם טור הילברט שלה רציונלי ביחס לכל קבוצת יוצרים. החבורות הבאות ידועות כפאן-רציונליות:

• חבורות אבליות-למעשה (virtually-abelian)
• חבורות היפרבוליות
• חבורת הייזנברג

לחבורת באומסלג-סוליטר $\ B(1,n)$יש גידול רציונלי ביחס לקבוצת היוצרים הסטנדרטית. עם זאת, לחבורת הייזנברג מסדר 5 טור הילברט טרנסצנדנטי ביחס לקבוצת היוצרים הסטנדרטית.

בכל חבורה עם גידול רציונלי, בעיית המילה פתירה. מאידך, יש חבורות פתירות (עם $\ G'''=1$) שבהן בעיית המילה אינה פתירה (Kharlampovich 1981), וממילא עם פונקציית גידול שאינה רציונלית.

טור הילברט מוגדר גם עבור חבורה למחצה; עבור חבורה למחצה עם יחס אחד, הוא רציונלי (Backelin).

ראו גם

• ממד גלפנד-קירילוב