שיחה:פונקציה מרוכבת
הוספת נושא"פונקציה שגזירה בנקודה מסוימת אינסוף פעמים, נקראת אנליטית בנקודה זו. פונקציה שאנליטית בכל תחום הגדרתה נקראת פונקציה אנליטית או פונקציה הולומורפית. פונקציה שאנליטית בכל המישור נקראת פונקציה שלמה."
רק התחלתי ללמוד פונקציות מרוכבות, וייתכן מאוד שאני טועה, אבל אני הבנתי שפונקציה אנליטית היא פונקציה מרוכבת שגזירה בתחום (Region), כלומר בקבוצה קשירה ופתוחה. הנה אתר שטוען כמוני: [1]
ויקי האנגלית מדברת על פונקציה אנליטית כפונקציה שניתנת על ידי טור חזקות מתכנס, מה שמתאים להגדרה שניתנה כאן, אלא שזו כנראה תכונה חלשה יותר - בערך האנגלי של פונקציה אנליטית נטען שקיימת פונקציה ממשית גזירה אינסוף פעמים שאינה אנליטית (מה שסותר, דומני, את ההגדרה שאנחנו נתנו בערך פונקציה אנליטית, וכמו כן שהולומורפיות במקרה המרוכב גוררת אנליטיות. ויקי האנגלית אומרת שכאשר עוסקים בפונקציות מרוכבות, אנליטי והולומורפי זה שני שמות שונים לאותו הדבר, אבל אותו הדבר אינו מה שכתוב כאן! ההגדרה של ויקי האנגלית לפונקציה הולומורפית היא של פונקציה מרוכבת גזירה בקבוצה פתוחה במישור המרוכב.
אבקש מכותב הערך להבהיר את עצמו. גדי אלכסנדרוביץ' 18:27, 11 אוק' 2004 (UTC)
- בערך זה מוגדרים שני מושגים: "פונקציה אנליטית בנקודה" ו"פונקציה אנליטית". ב-Mathworld מדברים על "פונקציה אנליטית בתחום". שלושת המושגים האלה דומים מאוד, ולפעמים לא מקפידים להשתמש בהם בצורה מדויקת, אבל הם שונים מבחינה סמנטית. גם מה שכתוב בערך, וגם בקישור שהבאת, נכון. (אם כי לא יזיק קצת נקיון) Iorsh 23:07, 11 אוק' 2004 (UTC)
- לא מסכים. הערך הזה מזהה את "פונקציה אנליטית" עם "פונקציה הולומורפית", דהיינו שפונקציה הולומורפית היא פונקציה גזירה אינסוף פעמים בתחום. האם אתה אומר שגם זה נכון? הנה עוד אתר שלא מסכים עם זה [2]. אני חושב שצריך, לפחות, להגדיר בצורה מדוייקת מהי פונקציה הולומורפית. בד"כ מזהים "בטעות" פונקציה אנליטית עם הולומורפית, וזה עוד סביל, אבל שיעשו את זה בכיוון השני - יזהו הולומורפית עם אנליטית? גדי אלכסנדרוביץ' 07:41, 12 אוק' 2004 (UTC)
- אם אני מבין נכון, אז הבעיה היא שPlanetmath אומר שפונקציה הולומורפית גזירה פעם אחת בכל נקודה בתחום הגדרתה, בעוד שאצלנו היא גזירה אינסוף פעמים בכל תחום הגדרתה. אז הרי זה שקול. אם אתה טוען שהדברים שונים - הדרך הפשוטה ביותר היא לתת דוגמא לפונקציה שלפי אתר אחד תהיה הולומורפית, ולפי אתר אחר לא. כך יוכח שההגדרות אינן שקולות. מקס 10:48, 14 אוק' 2004 (UTC)
- An infinitely differentiable function that is not analytic - פונקציה גזירה אינסוף פעמים שאינה אנליטית. אלא ששם מדובר על פונקציה ממשית, ואולי זו הסיבה... אני אחכה כמה שבועות עם הדיון הזה עד שאני אכיר יותר טוב את המושגים לפני שאני ממשיך למתוח ביקורת חסרת ביסוס. גדי אלכסנדרוביץ' 19:54, 14 אוק' 2004 (UTC)
- יש צדק בדבריך: הכוונה בערך היא כמובן לנגזרת מרוכבת (שלא קיימת לפונקציה שציינת), אבל הדבר אינו מוסבר כראוי. מקס 13:29, 15 אוק' 2004 (UTC)
- An infinitely differentiable function that is not analytic - פונקציה גזירה אינסוף פעמים שאינה אנליטית. אלא ששם מדובר על פונקציה ממשית, ואולי זו הסיבה... אני אחכה כמה שבועות עם הדיון הזה עד שאני אכיר יותר טוב את המושגים לפני שאני ממשיך למתוח ביקורת חסרת ביסוס. גדי אלכסנדרוביץ' 19:54, 14 אוק' 2004 (UTC)
- אם אני מבין נכון, אז הבעיה היא שPlanetmath אומר שפונקציה הולומורפית גזירה פעם אחת בכל נקודה בתחום הגדרתה, בעוד שאצלנו היא גזירה אינסוף פעמים בכל תחום הגדרתה. אז הרי זה שקול. אם אתה טוען שהדברים שונים - הדרך הפשוטה ביותר היא לתת דוגמא לפונקציה שלפי אתר אחד תהיה הולומורפית, ולפי אתר אחר לא. כך יוכח שההגדרות אינן שקולות. מקס 10:48, 14 אוק' 2004 (UTC)
- לא מסכים. הערך הזה מזהה את "פונקציה אנליטית" עם "פונקציה הולומורפית", דהיינו שפונקציה הולומורפית היא פונקציה גזירה אינסוף פעמים בתחום. האם אתה אומר שגם זה נכון? הנה עוד אתר שלא מסכים עם זה [2]. אני חושב שצריך, לפחות, להגדיר בצורה מדוייקת מהי פונקציה הולומורפית. בד"כ מזהים "בטעות" פונקציה אנליטית עם הולומורפית, וזה עוד סביל, אבל שיעשו את זה בכיוון השני - יזהו הולומורפית עם אנליטית? גדי אלכסנדרוביץ' 07:41, 12 אוק' 2004 (UTC)
תהייה[עריכת קוד מקור]
"הדרך הפשוטה ביותר לבנות פונקציה מרוכבת היא לקחת פונקציה ממשית רגילה ופשוט להפוך את הארגומנט שלה למרוכב." - המממ? המשפט הזה נשמע לי די סתום וחסר משמעות, מה גם שאינו נכון בדיוק. למשל, אם ניקח לוגריתם ונכניס לו ארגומנט מרוכב, נתחיל להסתבך עם ענפים, ונראה שלא כל התכונות המוכרות של לוגריתם עובדות, וכו'. אז נכון, אולי בפועל מה שקורה עבור רוב הפונקציות הוא שהתכונות שלהן נשמרות גם עם ארגומנט מרוכב, אבל המעבר רחוק מלהיות מיידי או פשוט. בכל ספר שמכבד את עצמו טורחים להגדיר מחדש בצורה פורמלית את הפונקציות המרוכבות - תוך שימוש בפונקציות הממשיות המקבילות, באמצעות טורים או משהו דומה. בכל אחד מהמקרים נדרשת הוכחה שמעורבת בעניין, ואי אפשר לפטור את זה תוך העמדת פנים שפשוט מציבים בפונקציה מספר מרוכב והכל "מסתדר". כשהייתי בתיכון תהיתי מה לעזאזל המשמעות של חזקה מרוכבת - הערך הזה, שאומר לי "פשוט תציב" לא עוזר לי במיוחד. גדי אלכסנדרוביץ' 21:15, 3 פבר' 2005 (UTC)
- אתה צודק כמובן. הוספתי הערה והבהרה בגוף המאמר. אתה מוזמן להרחיב בנושא ומאחר ואני כבר לא זוכר לעומק את הקורס שלקחתי בפונקציות מרוכבות (בסופו של דבר, כפיסיקאי אני משתמש רק במשפט השארית). MathKnight 21:45, 3 פבר' 2005 (UTC)
צריך לשנות כל מיני דברים בערך. לדוגמא משפט חשוב באנליזה מרוכבת הוא שאם פונקציה גזירה (במובן המרוכב) פעם אחת אז היא גזירה אינסוף פעמים. יתר על כן אם היא גזירה בתחום פתוח אז באותו תחום יש לה סביבה שבה טור הטיילור שלה מתכנס (כל אלו תוצאות של משפט קושי על האינטגרל). כלומר בכל מקרה עדיף להגדיר לפונקציה מרוכבת שהיא אנליטית בנקודה רק על ידי הדרישה שהיא גזירה בנקודה במובן המרוכב וכל השאר יתקיים מאליו. פונקציות כאלו נקראות הולומורפיות או אנליטיות בתחום. פונקציות מרוכבות שגזירות בכל C נקראות שלמות. אגב, פונקציות ממשיות נקראות אנליטיות אם לכל נקודה יש סביבה שבה טור טיילור סביב הנקודה מתכנס. 62.128.48.130 19:12, 14 מאי 2006 (IDT)