שיחה:סכום של שני ריבועים

כתוב בספר של סיימון סינג על המשפט האחרון של פרמה שלאוילר לקח שבע שנים להוכיח משפט זה, אך לא מצאתי לכך תיעוד ברשת. מישהו יודע אם זה נכון? Darkest - שיחה 20:58, 21 במרץ 2008 (IST)

בספר Primes of the form x^2+ny^2 של Cox אומרים משהו בסגנון, ואף יותר מכך - כדי להוכיח את כל מה שפרמה טען (הוא טען גם על הצגות מהצורה x^2+2y^2 ו-x^2+3y^2) נדרשו לאוילר 40 שנים (במהלכן הוא גילה את משפט ההדדיות הריבועית, אף שלא הוכיח אותו). קצת חבל שמסתפקים כאן בלדבר על המקרה של n=1 ולא אומרים כלום על היתר. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 23:27, 15 בפברואר 2009 (IST)

יש הפניה ל"ראו גם - תבנית ריבועית", שטרם נכתב; המקום לסיפור המלא (לרבות מיון התבניות של גאוס והקשר לחבורת המחלקות של חוג השלמים הנוצר מן הדיסקרימיננטה) הוא בתבנית ריבועית בינארית. עוזי ו. - שיחה 02:32, 16 בפברואר 2009 (IST)

מ-Cox קיבלתי את הרושם שהסיפור לא נגמר שם (אם אני מבין נכון, מה שאתה מתאר הוא רק הפרק הראשון שלו). לכן הנושא נראה לי מעניין מספיק לערך בפני עצמו, עם הקשרים המתאימים לנושאים הכלליים יותר, וההיסטוריה הייחודית שלו. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 07:55, 16 בפברואר 2009 (IST)

אני לא מכיר את Cox. הפרק הראשון שהתכוונתי אליו הוא תבניות ריבועיות בינאריות. יש ספרות ענפה על התורה האריתמטית של תבניות ריבועיות מממד גבוה יותר. יש לנו ערך על משפט ארבעת הריבועים של לגרנז', אבל התורה הרבה יותר קשה דווקא בממדים אי-זוגיים. עוזי ו. - שיחה 09:20, 16 בפברואר 2009 (IST)

גם אני לא מכיר את Cox מספיק, כך שייתכן שאני מקשקש. למיטב הבנתי, הוא מציג פתרון "כללי" לבעיה, במובן זה שהוא עונה על השאלה לכל n אפשרי - לזה התכוונת? בפרק הראשון הוא משתמש בשיטה של גאוס כדי להציג פתרון עבור מקרים מסויימים, אבל בשום פנים ואופן לא עבור כולם, ובהמשך נכנסים עקומים אליפטיים לתמונה ואני כבר לא מבין כלום. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 19:59, 16 בפברואר 2009 (IST)

הרחבה?

בהתבסס על Cox, אני חושב שיש אפשרות להרחיב את הערך הזה (מבלי לכתוב ערך כללי בהרבה ומבלי לדבר על תבניות ריבועיות) כך שיתאר לפחות את המקרים x^2+2y^2 ו-x^2+3y^2, שקשורים מאוד מבחינה היסטורית ונכללו בטענה המקורית של פרמה (והוכחו גם כן על ידי אוילר, בשיטה דומה). מה דעתכם? גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 07:28, 28 בפברואר 2009 (IST)

אפשר לפתוח ערך חדש, ומקיף יותר, על תבניות ריבועיות בינאריות; אני חושב שהתבנית $\ x^{2}+y^{2}$ ראויה לערך משלה. עוזי ו. - שיחה 20:49, 28 בפברואר 2009 (IST)

כאמור, דבר כזה יפספס את "רמת הביניים" שיש בה עניין בפני עצמה (הן מבחינה היסטורית, והן מכיוון שהטיפול בה פשוט בהרבה מהטיפול במקרים הכלליים יותר, ולכן ניתן להבנה על ידי יותר קוראים). גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 21:07, 28 בפברואר 2009 (IST)

"רמת הביניים" הן התבניות $\ x^{2}+2y^{2}$ ו- $\ x^{2}+3y^{2}$? (אני חושד שאתה מתכוון, אולי לא באופן מפורש, למקרה h=1, כלומר לתבניות שחוג השלמים של השדה עם הדיסקרימיננטה שלהן הוא ראשי. זה יכול להיות פרק בתבניות בינאריות, בלי להפסיד אף קורא). עוזי ו. - שיחה 23:52, 28 בפברואר 2009 (IST)

לדעתי ברגע שבו הכנסת לתמונה את המושג של תבנית בינארית, שלא לדבר על חוג שלמים, חוג ראשי ודיסקרימיננטה, איבדת קוראים (כמו גם את ההוכחה המקורית של אוילר והקשר שלה למשפט ההדדיות הריבועית). אני באמת לא מבין מה הרצון הזה לכווץ ולאחד כשאפשר להרחיב בצורה מעניינת גם על המקרים הפרטיים. שורה תחתונה - אתה מטיל וטו? גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 06:56, 1 במרץ 2009 (IST)

אני אפילו לא יודע על מה. מה אתה מציע? ערך על התבניות x^2+ny^2 עבור n=-1,-2,-3,1,2,3 (מה עם $\ x^{2}+4xy+2y^{2}$?), או תוספת פסקה לערך הזה? תמיד אפשר יהיה לפצל יותר מאוחר. עוזי ו. - שיחה 10:55, 1 במרץ 2009 (IST)

תוספת לערך הזה שעוסקת בשני המקרים הנוספים שעליהם פרמה דיבר - $\ x^{2}+2y^{2}$ ו- $\ x^{2}+3y^{2}$. המיוחד במקרים אלו, חוץ מהקשר ההיסטורי שלהם (שהוא מעניין מאוד לדעתי) הוא שבכולם ניתן לטפל באמצעות השיטה המקורית של אוילר (שמוצגת כרגע בערך). גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 11:10, 1 במרץ 2009 (IST)

קדימה. אם יצא לי לכתוב יותר על תבניות ריבועיות, אני אוכל להעביר, להפנות או להרחיב בערכים כלליים יותר. עוזי ו. - שיחה 23:22, 1 במרץ 2009 (IST)

משוב מ-3 בפברואר 2014

יש לי כמה הערות לגבי ההוכחה בעזרת הנסיגה: 1. הטענה שתמיד קיים m<p/4 כך ש: mp = x^2+1 אינה נכונה: דוגמה נגדית p=89. בדיקה פשוטה מראה שכל הכפולות של 89 בין 1 ל-22 פחות יחידה אינם מספרים עם שורש שלם. הטענה שזקוקים לה בהוכחה היא שתמיד קיים m כך ש: m<=2p ו: mp=x^2+1. גם טענה זו אינה טריביאלית ודורשת הוכחה נפרדת. 2. לא הובהר בהוכחה היכן משתמשים בקשר בין הגדלים של m ושל p . השימוש הוא בטענה שניתן לכתוב: x=mc+x1 כאשרx1<=m/2. זה נכון רק אם x>=m/2. אם גם x וגם y קטנים מ-m/2 הרי ש: X^2+y^2 < m^2/2 כלומר mp < m^2/2 ומכאן m>2p. 3. השלילה של התנאי: גם x וגם y קטנים מ m/2 היא שלפחות אחד מהם גדול או שווה m/2. מספיק שאפשר יהיה לכתוב אחד מהם (נניח x) בתור x=mc+x1 כאשר x1<=m/2. ההוכחה הכתובה מסתמכת על כך שאת שניהם אפשר לכתוב בצורה הנ"ל וזה בהחלט לא נכון. צריך להשלים את ההוכחה תוך שימוש רק באחד מהם.

הקיצור – גם לי כמתימטיקאי מקצועי (שאינו מתמחה בתורת המספרים) קשה מאד להבין את ההוכחה כפי שהיא כתובה. יוסי שילוח הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
85.64.28.166 13:14, 3 בפברואר 2014 (IST)

הכפולה 13*89 שווה ל-$\ 34^{2}+1$. כל x אפשר לחלק ב-m, עם שארית הקטנה בערכה המוחלט מ-m/2 (אפשר לבחור c=0). הבהרתי כמה נקודות בהוכחה, והוספתי דוגמא. עוזי ו. - שיחה 15:41, 3 בפברואר 2014 (IST)