שיחה:משפט ערך הביניים

והנה הוכחה חלופית: תמונה רציפה של קבוצה קשירה מסילתית היא קשירה מסילתית. קבוצה קשירה מסילתית בישר הממשי הינה קטע. מ.ש.ל.

צר לי, אבל למרות עבודתך המסורה אני דבק בעמדתי שאין מקום להוכחות משפטים בויקיפדיה, למעט מספר מצומצם מאוד של משפטים עם הוכחה היסטורית-קלאסית שכל בוגר תיכון יכול להבין (ההוכחה ששורש שתיים אינו רציונלי וההוכחה על קיום אינסוף ראשוניים, ואם תתעקש, אז גם הוכחת משפט פיתגורס). מקום הוכחות כמו זו שבערך הוא בויקיטקסט. הופעת ההוכחה גם בויקי האנגלית אינה מכשירה את השרץ מבחינתי. --Harel 18:10, 3 פבר' 2005 (UTC)

בסדר, אם כן, נמשיך לא להסכים. הגישה שלי גורסת שיותר מידע עדיף על פחות מידע, והוכחה ודאי שאינה מסרבלת את הערך, שכן היא מופיעה אחרונה בו. לטעמי האישי ולהשקפתי, הוכחות הן חלק אינטגרלי מערכים מתמטיים בויקיפדיה, אבל כאמור, חבל להיכנס שוב לויכוח שבו אף צד לא ישכנע את השני. השאלה היא האם אתה באמת רוצה למחוק מידע שמופיע בערך, ולמה אתה רוצה לעשות זאת. גדי אלכסנדרוביץ' 19:07, 3 פבר' 2005 (UTC)

אני מסכים עם גדי בנושא זה.

עם כותב ההודעה שמעל זו של הראל (גם כן גדי?) אני לא מסכים, לעומת זאת. כיוון שהיא מכילה מושגים שאינם מוכרים לתלמיד הנתקל לראשונה במשפט ערך הביניים. (ההוכחה אולי לא צריכה להיות מובנת בהכרח לכל תלמיד תיכון, אבל היא כן צריכה להיות מובנת לכל אדם המכיר ולא במעט את התחום, ולא נכון להניח שאנשים למדו טופולוגיה ושאר קורסים מעט יותר מתקדמים) אגב, אותה הבעיה מפריעה לי גם בהוכחה נוספת, של אחד ממשפטי ויירשטראס, אם אני לא טועה, המוכחת ביחס לקבוצה קומפקטית ועוד מספר הוכחות של הכללות של המשפט המקורי (הוכחה בערך נוסף מוכיח את הטענה ביחס לפונקציות מ-R^n לדוגמא, אם אני לא טועה)

השאלה היא מה עדיף לעשות עם ההוכחות השונות למקרים הכלליים, האם כדאי להכניס מספר הוכחות לאותו הערך? או אולי ליצור ערכים שונים לכל הרחבה? (משפט ויירשטראס II (לקבוצות קומפקטיות), לדוגמא) יובל מדר

ההודעה שמעל הראל היא התחכמות של הראל, אם כי לא ברור לי מה הוא בדיוק ניסה לומר בה (שהוכחות הן מיותרות?). לטעמי הכללות צריכות להופיע בסוף הערך, אלא אם הן מספיק חשובות כדי לזכות לערך משל עצמן (וגם אז, אזכור שלהן לא יזיק). כאן לדעתי לא יזיק להסביר שההכללה של משפט ערך הביניים היא בכך שקשירות (לא בהכרח מסילתית) היא תכונה טופולוגית ושבישר הממשי קבוצה היא קשירה אם ורק אם היא קטע. את "תכונת ערך הביניים" הכללית למרחבים טופולוגיים (כלומר, אם פונקציה ממשית מקבלת שני ערכים שונים מעל קבוצה קשירה, היא תקבל גם כל ערך שבינם) צריך להכניס לערך קשירות (טופולוגיה).

אגב, את ההוכחה שכתבתי בערך לא הכרתי עד היום ולמדתי אותה מקריאת הערך האנגלי בויקיפדיה. עד עכשיו הכרתי רק הוכחה עם רעיון דומה לזה של משפט בולצאנו ויירשטראס, שהיא מסורבלת פי כמה מההוכחה הזו, והיה מאוד נחמד להיתקל בהוכחה אלגנטית כמו זו. עוד נימוק מדוע לדעתי יש להוכחות מקום בויקיפדיה (בסופו של דבר, אני מבצע כאן את עיקר העבודה בשביל אנשים כמוני, כי אני יודע מה הם מחפשים - ואנחנו בהחלט רוצים שסטודנטים למתמטיקה ייעזרו בויקיפדיה, נכון?). גדי אלכסנדרוביץ' 22:17, 3 פבר' 2005 (UTC)

למרות שלא נהניתי מקריאת ההוכחה, איני רואה כל רע בקיומה בויקיפדיה. הקורא שהוכחות כאלה אינן מדברות אליו, יסתפק בקריאת משפט הפתיחה האינטואיטיבי, וגם הוא יביט בהוכחה (לא יקרא אותה, רק יביט בה), ויגיד לעצמו "ובכן, כך נראית המתמטיקה שלומדים בתחילת שנה א, מעניין איך היא נראית בקורסים של שנה ג". דוד שי 21:40, 3 פבר' 2005 (UTC)

חברים, יתרוננו בסובלנות שלנו לדעות שונות. אני אמשיך לדבוק בעמדתי (ובהימנעותי העקרונית מכתבית ערכי מתמטיקה בויקי), ואתם בשלכם, והויקיפדיה רק תשתפר. אגב, לא התכוונתי להתחכם, לא הערכתי שההערה שלי תיראה כמו שתי הערות שונות. ואם כבר, מה "מכשיר" בעיניכם ידע של שנה א' במתמטיקה על פני ידע של שנה ב'-ג' (קבוצה קומפקטית זה לא בדיוק חומר בחזית המחקר האקדמי)? אם זה כשר, גם זה כשר. אני בעד דיוק עובדתי ושימוש בכל הז'רגון המקצועי בכל מקום שדרוש. פשוט לא חושב שההוכחה תורמת. אני לא מציע למחוק, חלילה, רק לנסות להשפיע בעקיפין על כתיבת ערכים בעתיד. --Harel 22:51, 4 פבר' 2005 (UTC)

באופן עקרוני יש בעיה מסויימת עם הערך. הוא מתייחס למשפט ערך הביניים בגירסה המצומצמת שלו. המשפט הכללי מדבר על פונקציות רציפות ממרחב טופולוגי כלשהו לתוך המרחב הממשי. עם זאת, ההוכחה נשארת כמעט זהה. אמיתי 22:57, 4 פבר' 2005 (UTC)

הרשה לי לתקנך ולהזכיר לך את שיחתנו מהיום בנוגע למרוכבים, ועל כך שמשפט ערך הביניים אינו תקף כשהפונקציה היא מהמרוכבים - היינו זקוקים להשתמש במסילה כדי להציג את הפונקציה כהעתקה מקטע ממשי סגור לממשיים. כמדוני יש צורך בטופולוגיית הסדר, אך לא המשכתי לחשוב לעומק סוגייה זו. Omrisegal 12:46, 30 מרץ 2005 (UTC)

אני לא חושב שיש מישהו שבעיניו חומר של שנה א' "כשר" בזמן שחומר של שנה ב' לא. איך הגעת למסקנה הזו? להכללה של המשפט בהחלט יש מקום, והשאלה היא רק אם כאן או בערך משל עצמה. בכל מקרה, כאשר עוסקים בערך ברמה מסויימת, עדיף לא להכביר במונחים שהם מרמה גבוהה יותר - זה יקשה על הקוראים. כאשר עוברים לרמה הגבוהה יותר (כלומר, כאשר כותבים את ההכללה) אין כל רע בשימוש באותם מושגים. אבל בלי זה? כך גם בהוכחה שלך, הראל: כדי להבין אותה יצטרך הקורא גם להבין מדוע תמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קשירה - וזה כבר חומר ברמה גבוהה מזו של המשפט הבסיסי, ולכן היא מתאימה להוכחה של ההכללה, לא המקרה הפרטי. גדי אלכסנדרוביץ' 23:23, 4 פבר' 2005 (UTC)

הוכחה חלופית

בהתבסס על משפט החיתוך של קנטור (בגירסת החדו"א שלו):
נראה שאם f(a)<0 ו- f(b)>0 אז קיים c בקטע [a,b] כך ש f(c)=0. (השקילות נובעת מהזזה של הפונקציה בערך הרצוי כלפי מטה).
נחלק את הקטע לשני קטעים: $\ [{\frac {a+b}{2}},b]$, $\ [a,{\frac {a+b}{2}}]$ או ש $f({\frac {a+b}{2}})=0$ וסיימנו או ש- $f({\frac {a+b}{2}})<0$ ואז הקטע הימני שומר את התכונה שקצה אחד שלו חיובי והשני שלילי, או ש- $f({\frac {a+b}{2}})>0$ ואז הקטע השמאלי ישמר את התכונה הרצויה. נבחר את הקטע שמשמר את התכונה (קצה ימני חיובי והשני שלילי) ונחצה אותו שוב. נקבל שוב מבין שני הקטעים קטע אחד שמשמר את התכונה וכן הלאה. קיבלנו סדרת קטעים סגורים שכל אחד מוכל בקודמיו ושאורכם שואף לאפס ולכן לפי משפט קנטור, או לפי המשפט על סדרת קושי קיימת נקודה (יחידה) שמוכלת שבכל הקטעים. לנקודה זו יש סדרה של נקודות ששואפות אליה מימין(אלו הקצוות הימניים של הקטעים) שערכי הפונקציה עליהן חיוביים, ולכן מהרציפות של f, גם $\ f(c)\geq 0$.
מצד שני יש סדרת נקודות ששואפות לc משמאל (הקצוות שמאליים של הקטעים) שעליהם ערכי הפונקציה שליליים ולכן גם $\ f(c)\leq 0$. כלומר f(c)=0.

מה הקטע? אם אתם פיתגורס, שיהיה לכם בכיף, אבל הערך הזה מתאים אולי לספר מקצועי ולא לויקיפדיה. הסיבוך מעורר גיחוך, ותיאור כה לא בהיר מתאים אולי בתור פארודיה לאיןציקלופדיה. לפשט בדחיפות!