שיחה:משלים (מתמטיקה)

לא הבנתי איך יודעים ביחס לאיזו קבוצה המשלים.
כאילו הבנתי ש- $\ a'$ הוא המשלים של $\ a$ ביחס ל- $\ U$,
אבל הבנתי גם שאפשר לעשות משלים ביחס לקבוצה אחרת. איך?????
Comp 16:47, 26 אוקטובר 2005 (UTC) $\ \lim _{i\to am}\ very\times \infty _{love}=latex$

בעיקרון אתה יכול פשוט לבחור קבוצה אוניברסלית שונה. למשל, המשלים של {1,2,3} בקבוצה {1,2,3,4,5,6} הוא {4,5,6} ולעומת זאת בקבוצה {1,2,3,4} הוא {4}. גדי אלכסנדרוביץ' 19:16, 26 אוקטובר 2005 (UTC)

---

למה הועבר ממשלים (תורת הקבוצות) (זה השם המתאים)? הציור מבלבל (U זה הכל או רק השטח האפור?). עוזי ו. 03:33, 3 נובמבר 2005 (UTC)

שאלת חיתוך

אם נגדיר את R1 כתת-קבוצה ממש של R, ואת R2 כתת-קבוצה ממש של R אשר מכילה את כל איברי R אשר אינם ב-R1, אז R1 ו-R2 משלימות זו את זו ל-R.

משמעות הדבר היא קיומו של "חור" (חיתוך ריק) בין R1 ל-R2 כי הרי R1 ו-R2 אינן חולקות אף איבר משותף (וזאת, בהתאם למושג המשלים). כדי למנוע את ה"חור" הנ"ל, חייבים להתקיים אלמנטים בין איברי R, אשר עוצמתם עולה על עוצמת-הרצף של כל איברי R, אך גם הם בתורם, חייבים להכיל איברים ביניהם, אשר עוצמתם גדולה משלהם, וכן הלאה לאין-קץ.

ביסוד השתלשלות אין-קץ זו עומד תנאי המובחנות הברורה של איברי קבוצה, המאפשר לנו להגדיר מלכתחילה את מושג המשלים, אך מהתבוננות זו, כל ניסיון להגדיר גבול ברור בין קבוצות משלימות נועד לכשלון, כי התנאי היחיד ל"סתימת החור" המפריד בין קבוצות מובחנות, הינו איבר שאינו שייך ל-R1 ולא ל-R2, ומזה נובע ש-R1 ו-R2 אינן קבוצות שלמות אינהרנטית.

במילים אחרות, מדוע עוצרים חתכי דדקינד בחיתוך בין הרציונלים, ולא ממשיכים לחתוך בין האי-רציונלים וכו' לאין-קץ? דורון שדמי 12:37, 17 בדצמבר 2006 (IST)

לפסקה השלישית: אפשר לבנות את אוסף חתכי דדקינד בכל שדה סדור; כדי שהתוצאה תהיה שדה, השדה המקורי חייב להיות סדור ארכימדית, כמו הרציונליים או הממשיים. אלא מה, מתברר שאין זה חשוב מעל איזה שדה סדור ארכימדי יוצרים את חתכי דדקינד - תמיד מתקבל אותו שדה, דהיינו שדה המספרים הממשיים. בפרט, שדה חתכי דדקינד של הממשיים הוא שוב אותו השדה עצמו (הסיבה היא אקסיומת החסם העליון, שאינה אקסיומה, אלא תכונה ידועה של שדה הממשיים). עוזי ו. 13:26, 17 בדצמבר 2006 (IST).

הי עוזי, אם, לפי דבריך, אין שדה בעל עוצמה גדולה יותר בין המספרים האי-רציונליים, אז מהו יחסו של האיבר המשמש כחסם בין R1 ל-R2 , לבין שאר האיברים, ואשר לפי אקסיומת החסם העליון, נכלל ב-R1 או ב- R2 (כי אם היה נכלל בשניהם, לא היתה מתקיימת הזרות המאפשרת בידול בין R1 ל-R2 כשתי תת-קבוצות נפרדות ממש, המשלימות זו את זו ל-R)?

אם איבר זה הינו איבר R אז R1 ו-R2 הן בלתי שלמות.

אשמח אם תאיר את עיני באפשרות שלישית. דורון שדמי 12:37, 17 בדצמבר 2006 (IST)

אני לא יודע מה פירוש "בין" שתי קבוצות של מספרים ממשיים, ולא מה פירוש ה"שלמות" שאתה מדבר עליה. כדוגמא שבה יש משמעות למושג הראשון, אפשר לקחת את R1 כקבוצת כל המספרים הגדולים ממש מאפס, ואת R2 כמשלים, קבוצת המספרים הקטנים או שווים לאפס. החסם התחתון של הקבוצה הראשונה שווה לחסם העליון של השניה, שהוא גם המקסימום שלה - אפס. עוזי ו. 13:56, 17 בדצמבר 2006 (IST)

ראה נא את הגדרתי במשפט הראשון המופיע תחת כותרת דיאלוג זה.

מתוך ההגדרה הנ"ל, כל איברי R ללא יוצא מן הכלל מוכלים ב-R1 וב-R2 ולכן החסם אינו יכול להיות איבר R (אם טטען שהחסם הינו איבר של R1 או איבר של R2, עדיין יתקיימו אינסוף איברי R הקטנים או גדולים ממנו, אשר אינם בדיוק הוא. לכן לעולם תתקיים זרות ביניהם ובינו, וזרות זו היא היא המאפשרת בידול והבחנה בין כל אחד מאיבריה של קבוצת הממשיים).

איך שלא תהפוך בנ"ל, לא תוכל לקיים את R כקבוצה שלמה (ללא כל פער בין איברים מובחנים)[משתמש:דורון שדמי|דורון שדמי]] 14:10, 17 בדצמבר 2006 (IST)

אינני יודע מה אתה רוצה. מותר לחסם להיות איבר של אחת הקבוצות (אין לו ברירה). עוזי ו. 14:24, 17 בדצמבר 2006 (IST)

אך אז לעולם יתקיימו משני צדדיו אינסוף איברים המובחנים (מובדלים) היטב זה מזה (מובחנות זו הינה תנאי מכונן למושג הקבוצה) , אשר אף אחד מהם אינו זהה לחסם, ולכן כל אחת מקבוצות האיברים המובחנים הנ"ל חייבת להיות בלתי-שלמה, כדי לקיים את אינסוף איבריה, בין אם היא מכילה או לא מכילה את האיבר המוגדר כחסם (חסם AND אינסוף_איברים_מובחנים שקול לסתירה המתקבלת ב- אמת AND שקר בלוגיקת שני מצבים).

הבה נשתמש בדוגמא שנתת בעניין 0 כחסם:

א. אתה מגביל עצמך מלכתחילה (אפריורית) לאיברי R בלבד, ולכן תמצא במרחב החקירה רק את מה שהגדרת מלכתחילה.

ב. קיומו של 0 כאיבר של (לדוגמא) R2 מאפשר את הביטוי קטן/שווה 0 ( >= 0 ) אך ברור לחלוטין כי = מתייחס רק ואך ורק ל-0 עצמו ולא לשום איבר של R2 שאינו 0.

ג. קטן_AND_שווה OR קטן_OR_שווה (>=) אינו מתייחס לאיבר יחיד של R2 , ולכן קיימים אינסוף איברים ב-R2 , שאף אחד מהם אינו 0 , ואינסוף איברי R2 שאינם בדיוק 0 אין בכוחם לסגור את הפער (>) בינם לבין 0.

ד. לכן לא ניתן להמנע מהמסקנה כי R2 אינה שלמה אינהרנטית (הפער הקיים בין > ל- = אינו ניתן לגישור גם בהינתן אינסוף איברים, המתקיימים במובחן זה מה (ומובחנות זו, כאמור, הינה תנאי מכונן למושג הקבוצה, במובנה המקובל).

ה. אי-שלמות זו צצה ומופיעה בכל פעם שבה מעמידים איבר מובחן x מול קבוצת איברים מובחנים שאינם x (ואין זה משנה כלל אם האיברים המובחנים שייכים או לא שייכים לאותה קבוצה), ואי-שלמות זו היא היא האינווריאנט (הקבוע) העומד בשורש מושג הקבוצה כאוסף של איברים מובחנים וגם בשורש ההבחנה בין קבוצות (במילים אחרות: לפי מושג הקבוצה הנוכחי, הזרות קיימת מבית ומחוץ). דורון שדמי 14:44, 17 בדצמבר 2006 (IST)

בערך גיאומטריה אנליטית נאמר:

המעגל לפי הגדרתו הגאומטרית, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת (המרכז) שווה למספר חיובי קבוע- הרדיוס. לפי הגדרה זו משוואת המעגל תהיה (אחרי העלאה בריבוע):

$\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$ כאשר מרכז המעגל הוא הנקודה (a,b) ורדיוסו R.

כאשר מרכז המעגל הוא ראשית הצירים- הנקודה $\ (0,0)$, משוואת המעגל מקבלת את הצורה:

$\ x^{2}+y^{2}=R^{2}$

לפי ההגדרה הנ"ל מתקיים מעגל גם אם R=0 או R=oo .

בחינה לעומק של ההגדרה הגיאומטרית מגלה כי מקרי הקיצון שתוארו אינם משמרים את היחס 2PI הקיים בין ההיקף לרדיוס.

יחס זה אינו תלוי כלל ועיקר במושג האוסף, אלא מתקיים כאינווריאנט בין שני אלמנטים קשירים-לחלוטין (שאינם מורכבים מתת-אלמנטים) המכונים ur-elements (ראה נא http://en.wikipedia.org/wiki/Urelement) .

הבנת מושג האינסוף מנקודת המבט של קשירות-מוחלטת, מקיימת אינסוף אלמנטים (ובמקרה זה, מעגלים) משמרי יחס (ובמקרה זה, היחס הוא 2PI).

בכך מתקיימת עיקביות מדויקת יותר בין האלמנטים הנחקרים (אשר אינה נשמרת בעת שימוש במושג הקבוצה בלבד) אשר אינה תלויה באוסף נוטציות, אלא נובעת ישירות מתכונה אינהרנטית (ובמקרה זה, יחס קבוע) של האלמנטים עצמם.

מתוך הבנה זו, כל ערך x המשמש כגבול, אינו משמר תכונות יחס קבועות כגון "גדול מ-x" או "קטן מ-x" אשר קיימות בכל אחד מאינסוף האלמנטים שאינם x, ולכן שיוויון x לעצמו מתקיים בזרות מתמדת ביחס למה שאינו x, גם בהינתן אינסוף איברים שאינם x .

לכן מושג הקבוצה לבדו אינו מסוגל להשיג את הדיוק המלא של מושג האינסוף ללא היחס בינו לבין קשירות-מוחלטת, ומזה נובע שמושג המשלים אינו ניתן למיצוי ריגורוזי מנקודת המבט של קבוצה-בלבד (או כל מודל אחר שבו כל אלמנט הינו "אחד מהרבה ..."). דורון שדמי 11:46, 21 בדצמבר 2006 (IST)