שיחה:מרחב נורמלי באופן מושלם

על ה'תיקונים' בערך

'פונקציות מסוג זה לעיתים קרובות נקראות "המרחק בין קבוצה לנקודה" ואפשר לבנות מהן מעין מטריקה בין קבוצות במרחב מטרי.'

נכון שאפשר לקרוא לפונקציה שלנו 'המרחק מן הקבוצה A'. לשם מה הטענה הסטטיסטית על שכיחות ההופעה של המונח הזה?

ואי אפשר לבנות מהן מטריקה. הרי המרחק הוא אפס אם הקבוצות אינן זרות. גם המרחק בין שתי קבוצות זרות (ואפילו סגורות) יכול להיות אפס. "זה מעין מטריקה" בגלל שכמו מטריקה, פונקציות המודדות מרחק מקבוצה מקיימות את אי-שוויון המשולש, שאותו אנחנו מקשרים באופן אינטואיטיבי עם מושג המרחק. אבל מבחינה טכנית, המונח הזה מאד מטעה.

כעת נגדיר: $\ f(x)={\frac {d_{A}(x)}{d_{A}(x)+d_{B}(x)}}\quad$. אנו טוענים שזו הפונקציה המבוקשת שמפרידה כנדרש.

'הפונקציה המבוקשת שמפרידה כנדרש' זו כפילות. לשם מה צריך להגיד את הפונקציה, להגיד מה היא עומדת לעשות, להגיד את התכונה היחידה שיש לפונקציה הזו, ואז להגיד שהיא אכן עושה מה שרצינו?

מכיוון ש- A ו- B סגורות וזרות, $\ d_{A}(x)+d_{B}(x)>0$ לכל x.

כדי לדעת שסכום המרחקים חיובי צריך לשלב שתי עובדות. ראשית, כל מרחק הוא חיובי ממש מחוץ לקבוצה הרלוונטית - והסיבה לזה היא שהקבוצות סגורות; הטיעון הזה הובא בפסקה הקודמת. כדי שהסכום יהיה חיובי, צריך להוסיף לזה את העובדה שהקבוצות זרות. נכון שהן סגורות, אבל בהקשר הזה זו חזרה מיותרת ומבלבלת ("91 איננו ראשוני משום שהוא מתחלק ב- 7, ו- 7 כן ראשוני").

מכאן נובע שהפונקציה f היא רציפה ומוגדרת הייטב.

איך היא יכולה להיות רציפה אם איננה מוגדרת היטב? אם כבר, 'מוגדרת היטב ורציפה'.

קל לראות שהיא מפרידה באופן מדוייק בין A ל- B ומקיימת: $\ f(A)=0\ ,\ f(B)=1$.

התכונה השניה חוזרת על חלק מן הדרישות לכך שהיא מפרידה באופן מדוייק, כפי שהוגדרו בפסקה הראשונה של הערך.

אני משתדל לכתוב בזהירות. עוזי ו. 21:23, 26 ספטמבר 2005 (UTC)