שיחה:חוג (מבנה אלגברי)

תת חוג

תת קבוצה של חוג $\ S\subset R$ שהיא חוג בפני עצמה עבור אותן פעולות של החוג תקרא תת חוג של החוג $\ R$. למשל, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת חוג של אוסף המספרים השלמים.

אינני מבין: לפי ההגדרה צריך בחוג איבר נייטרלי לכפל, ואוסף המספרים הזוגיים הרי לא כולל את אחד? what gives? F1list 16:28, 26 אוקטובר 2005 (UTC)

איבר נייטרלי לכפל איננו הכרחי תמיד - נהוג להבדיל בין "חוגים עם יחידה" ל"חוגים בלי יחידה". במקרה הזה הבעיה היא בערך, ותודה שהצבעת על כך. גדי אלכסנדרוביץ' 18:48, 26 אוקטובר 2005 (UTC)

עכשיו ברור כשמש. יישר כח למשכתב(ים). צביקה 07:57, 22 נובמבר 2005 (UTC)

ההגדרות

לא צריך לציין גם סגירות לכפל ולחיבור או שזה מובן מאליו?

כתוב בהגדרה שאלו פונקציות מR מכפלה קרטזית R אל R. כלומר, טווח הפונקציות הוא R, ובפרט מתקיימת סגירות. לירן (שיחה,תרומות) 00:03, 30 באוגוסט 2007 (IDT)

ההגדרות 2

נראה לי שכדאי לפרט את כל האקסיומות של חוג בפירוש ולא להפנות ל"חבורה אבלית" ו"מונאיד". זה אומנם נכון אבל נכנסתי לערך כדי לבדוק מהן כל האקסיומות ואשמח אם יהיו מונחות לפני ברשימה (יונתן)

למה האקסיומה הראשונה מיותרת?

לא הבנתי איך זה מתקבל משאר האקסיומות. אשמח להוכחה, יאיר ח. 22:38, 11 באוקטובר 2007 (IST)

זה מתקבל בגלל הדיסטרוביטיביות:

$\,(1+1)(a+b)=1(a+b)+1(a+b)=a+b+a+b$

ומצד שני

$\,(1+1)(a+b)=(1+1)a+(1+1)b=a+a+b+b$

ולכן $\,a+b+a+b=a+a+b+b$, ועל ידי חיסור a משמאל וb מימין נקבל את הדרוש. לירן (שיחה,תרומות) 22:41, 11 באוקטובר 2007 (IST)

אגב, טוב ששאלת כי עכשיו שמתי לב שאחד מחוקי הדיסטרובטיביות היה חסר בערך. לירן (שיחה,תרומות) 22:43, 11 באוקטובר 2007 (IST)

תודה. יאיר ח. 23:19, 11 באוקטובר 2007 (IST)

חבורה אבלית

בפרק ההגדרה היה כתוב: "לפי הגדרה זו, חוג עם פעולת החיבור שלו מהווה חבורה אבלית". מה פירושו של משפט זה והאם זה נכון. הרי חבורה אבלית דורשת בדיוק את מה שלא נדרש על ידי חוג. נא להחזיר לערך במקום מתאים ביחד עם הסבר. תודה. יעקב - שיחה 02:47, 11 בנובמבר 2008 (IST)

הכוונה היא לכך שאם מסתכלים על החוג כקבוצה שמוגדרת עליה פעולה אחת בלבד (חיבור), אז קבוצה זו יחד עם פעולה זו היא חבורה אבלית. אכן, החיבור הוא פעולה בינארית על הקבוצה שיש לה הופכי ("הנגדי") ואדיש (0). ועל פי דרישת הקומוטטיביות מפעולת החיבור, היא גם אבלית. אני חושב שיש להחזיר את המשפט. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 00:10, 12 בנובמבר 2008 (IST)

איני חולק על כך שיש להחזיר את המשפט, אני רק חושב שיש לתת הסבר. אם הבנתי אותך נכון, אזי חוג שלא מוגדר לו פעולת כפל (למה הוא עדיין נקרא חוג? הרי ההגדרה דורשת פעולת כפל) הוא חבורה אבלית, כאשר פעולת החיבור של החוג משמשת כפעולת הכפל של החוג האבלי. אם הבנתי נכון, נראה לי שמקום המשפט בפרק "תכונות" ולא בפרק הגדרה. ותודה על סבלנותך כלפי ההדיוטות. יעקב - שיחה 00:21, 12 בנובמבר 2008 (IST)

קח את השלמים. הם חוג תחת פעולות הכפל והחיבור. כעת "תשכח" לרגע מכך שבחוג קיימת פעולת כפל; תישאר עם קבוצה (השלמים) שעדיין מוגדרת עליה פעולה אחת (חיבור). הקבוצה והפעולה הללו גם יחד מהווים חבורה (אבלית). זה הכל. ייתכן שאתה טיפה מתבלבל מכיוון שנהוג לקרוא לפעולה הבינארית של אברי החבורה "כפל", וכאן שם הפעולה הוא "חיבור", אבל כמובן שאלו לא הבדלים משמעותיים. בתור דוגמה נוספת תחשוב על מרחב וקטורי, כש"שוכחים" את פעולת הכפל בסקלר. שוב מקבלים חבורה אבלית. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 09:26, 13 בנובמבר 2008 (IST)

תודה. הבנתי. אבל עדיין לא הבנתי איך אפשר לשכוח ממנו?האם ההגדרה של חוג מחייבת פעולת כפל או לא מחוייבת פעולת כפל? אם היא לא מחייבת קיום פעולת כפל אזי חוג היא חבורה אבלית שיש לה תנאי נוסף (גם כוללת כפל). אם חוג כולל רק את המספרים ולא את הפעולה ורק דורשת שאם יש פעולה שהיא תקיים את התנאים הלל (לא נראה לי סביר אבל אולי) אז יש לכתוב זאת. אם היא מחייבת קיום פעולת קיום פעולת כפל אז היא אולי מקרה פרטי של חבורה אבלית. יעקב - שיחה 10:06, 13 בנובמבר 2008 (IST)

במילה "חוג" מתכוונים תמיד הן לקבוצת האיברים, והן לשתי הפעולות (פורמלית - פונקציות) שמוגדרות עליה. ה"שכחה" פירושה שמתוך השלשה הזו לוקחים רק שניים מהאיברים (יש לזה משמעות פורמלית לגמרי במתמטיקה - עיין בערך על w:Forgetful functor - אפילו מביאים שם את מקרה החוג=>חבורה אבלית כדוגמה). גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 12:28, 14 בנובמבר 2008 (IST)

יש לי חוג. מה לעשות איתו

קניתי חוג במחיר מציאה והוא עונה עלכל הדרישות המנויות בערך. יש לו שימוש כלשהו? או שקניתי פיל לבן? אשמח על כל עזרה שתוכלו לכתוב בערך בנושא "מה עושים עם חוג"? יעקב - שיחה 01:17, 19 בנובמבר 2008 (IST)

אחרי שערכת איתו היכרות ראשונית (הוא קומוטטיבי? פשוט-למחצה? נותרי?), כדאי שתברר מה הוא יודע לעשות (איזה מודול חסרי פיתול יש לו, האם הוא פרימיטיבי, מהי K0 שלו). אם החוג נוצר בתהליך טבעי כלשהו (וכך יהיה, אלא אם זכית בחוג שנתפר לפי הזמנה מיוחדת), התכונות של החוג יספרו לך הרבה על אותו תהליך. עוזי ו. - שיחה 19:52, 19 בנובמבר 2008 (IST)

!?!? יעקב - שיחה 20:51, 19 בנובמבר 2008 (IST)

קשררתי קצת; אני מקווה שזה יועיל. עוזי ו. - שיחה 23:58, 19 בנובמבר 2008 (IST)

אני חושב שפרק התכונות אמור לשאת את הכותרת "סוגי חוגים", ואד אמור להיות פרק בו מסבירים שהמתמטיקאים מצאו תכונות המשותפות לכל החוגים ותכונות עוד יותר מובהקות לסוגים מסויימים של חוגים. למשל יש הומומורפיזם כך שאם אתה יודע שיש לך חוג ועוד חוג, אתה יכול לישון בשקט שכשתחבר ביניהם לא תקבל ריאקציה בלתי צפויה. לפרק הזה על התכונות מן הסתם תוכל להוסיף את מה שכתבת למעלה, אם תצליח להסביר בשפת בני אדם מה זה התהליך הזה שבו נוצר החוג. יעקב - שיחה 00:53, 20 בנובמבר 2008 (IST)

ring / rng - חוג \ חג

השם rng ל"חוג ללא יחידה" הומצא על ידי פרופ' אליעזר (לואי) רואן, כאשר היה תלמיד מחקר אצל Nathan Jacobson (זה מוזכר בהערת רגל בספר Basic Algebra I מאת Jacobson). אני מציע לקרוא לחוג ללא יחידה בעברית חַג. Hadaso - שיחה 21:38, 1 בנובמבר 2014 (IST)

רעיון לא רע; שמעתי שמשתמשים פה ושם ב"חוגית". עוזי ו. - שיחה 22:32, 1 בנובמבר 2014 (IST)