שיחה:הפרדוקסים של זנון

אני מוצא כי לא נכון לערב את ה"חשבון הדיפרנציאלי" בנושא זה. מתאים יותר להישען על עקרון האי ודאות של הייזלברג. ע"פ עקרון זה אין אפשרות לקבוע את מיקום החץ ואת התנע שלו במדויק. כלומר אין אפשרות לומר כי חפץ נמצא במהירות 0 ובמקום x בדיוק. אם זנון רוצה ליטעון כי מיקום החץ הוא בנקודה מסוימת הרי שאיננו יכול לדעת (ע"י מדידה) אם הוא נע או לא!

זה נכון אך לא נדרש. הפרדוקס של זנון מתקיים (לכאורה) גם בעולם קלאסי לגמרי שעקרון אי הוודאות לא מתקיים בו. לכן ההסבר הוא אכן החשבון האינפיניטסימאלי. odedee • שיחה‏ 05:22, 19 פברואר 2006 (UTC)

פרדוקס החץ הנע מתקשר לתורת הקוונטים

אולי כדאי לקשר את הערך לעקרון אי הוודאות של הייסנברג - לא ניתן לגלות מיקום מדויק אם רוצים לדעת מהירות מדויקת ולהיפך...

תגיד, קראת מה שכתוב פה שורה מלמעלה? odedee • שיחה‏ 18:19, 23 מאי 2006 (IDT)

פרדוקס הדיכוטומיה

אם איני טועה, הוא קשור דוקא למושג הגבול, ולא לטור המתכנס. דודס 00:55, 27 יוני 2006 (IDT)

הפרדוקס ממוקד בטענה שבזמן סופי לא יכולים לקרות אינסוף אירועים. אני מבין מדוע אתה רואה קשר דווקא לגבול (קיומו של גבול לסדרה אינסופית כופה התנהגות "סופית" על הסדרה כולה), אבל נדמה לי שמושג הטור קרוב עוד יותר: מכך שקיימים טורים מתכנסים אנחנו לומדים שאינסוף אירועים (הולכים ומתקצרים) יכולים לקרות בזמן סופי. עוזי ו. 10:27, 2 יולי 2006 (IDT)

בנתי, תודה. דודס • שיחה 10:30, 2 יולי 2006 (IDT)

עוזי, אני לא חושב שהפרדוקס מתמקד בכך שבזמן סופי יכולים לקרות מספר אינסופי של אירועים, אלא בכך שלא קיים מאורע ראשון באוסף האינסופי של האירועים המוצגים בפרדוקס (חציית "החצי הראשון מן החצי הקודם"). בהקשר זה כדאי לקרוא את המאמר של יובל שטייניץ המובא כאן. מהבחינה הזאת המשפט "פרדוקס זה הוא וריאציה של הפרדוקס הקודם, וגם פתרונו דומה" המתייחס לפתרון פרדוקס הדיכוטומיה מטעה למדי. קראתי גם את ההוכחה שמובאת בגרסה האנגלית, אך גם היא מתרכזת בהוכחת האפשרות להתרחשות אינסוף אירועים בזמן סופי ולא עונה על בעיית האירוע הראשון. ניסיתי גם להבין את ההוכחה המובאת ב-[1] אך הדבר לא עלה בידי. אשמח מאוד לשמוע את דעתך בעניין. אמיתי 14:06, 14 באפריל 2007 (IDT)

השאלה היא למה בעיית האירוע הראשון היא בעיה - כלומר, מה ההנחות שמהן נובע שגם אם יש חלוקה אינסופית של הדרך, חייבים אירוע ראשון. מבחינה מתמטית אין בעיה להציג תיאור מתמטי של התנועה (כלומר, פונקציה שמתאימה מיקום לזמן), ולכן השאלה היא האם התיאור הזה לא קביל (ואז השאלה היא מה כן קביל בתור תיאור של התנועה - ואני לא חושב שזנון טרח לענות לזה), או האם הוא גורם לפרדוקסים (הוא לא). גדי אלכסנדרוביץ' 15:23, 14 באפריל 2007 (IDT)

צודק. אמיתי 21:25, 14 באפריל 2007 (IDT)

אכן קשור למושג הגבול. וחשבון אינפיניטסימלי לא פותר את הבעייה. תוסיף את הטוויסט הבא: אותו אדם (שנניח שזה אכילס מהבעייה הקודמת) נושא עמו פנס, ובכל מקטע לוחץ על המתג כך שהפנס נדלק/נכבה. האם בסוף המירוץ הפנס דולק או כבוי? להלן סרטון להרחבה בנושא (באנגלית, של Vsauceי): https://www.youtube.com/watch?v=ffUnNaQTfZE י87.68.18.154 22:42, 5 בינואר 2016 (IST)

האם לא עדיף להעביר את כל הערך הזה לקטגוריה "פרדוקסים לכאורה"?

―עמינדב (שיחה | תרומות | מונה) לא חתם ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

איזה פרדוקס הוא לא "לכאורה"? ‏odedee • שיחה 14:13, 10 באוגוסט 2007 (IDT)

איזו אופטימיות... עוזי ו. 14:42, 10 באוגוסט 2007 (IDT)

אמנם זו לא חלוקה מדעית, אבל בעיני "פרדוקס לכאורה" הוא כזה שלאחר הסבר ברור ולא מתחכם, לא נשאר ממנו כל פרדוקס; הוא נחזה כפרדוקס רק לפני שהובן כהלכה. לעומת זאת, "פרדוקס" נשאר כזה, אלא אם משנים את הנחות היסוד באופן משמעותי. פרדוקס גורם לשינוי במערכת האמונות שלך; פרדוקס-לכאורה הוא שעשוע לשעות הפנאי. הפרדוקסים של זנון הם פרדוקסים מרכזיים שהובילו לחשיבה המדעית המודרנית, ואין ספק במעמדם ככאלה. עוזי ו. 14:42, 10 באוגוסט 2007 (IDT)

אכן, כשיצרתי את קטגורית הפרדוקסים לכאורה התכוונתי שיכנסו עליה ערכים בסגנון הפרדוקס הצרפתי שעד אז קוטלג כפרדוקס. דניאל ב. 14:44, 10 באוגוסט 2007 (IDT)

אכילס והצב

שלום, בשינוי האחרון שלך לערך של אכילס והצב הורדת את ההסבר שלי לדעתי ההסבר שלי היה יותר פשוט מכיוון והוא מסביר בצורה שגם מי שלא יודע מה הוא חשבון אינפיניטיסימלי יוכל להבין כי הרי ברו ש10+1+0.1+0.01+0.001+0.0001... מתכנס ל11.1111 עם אינסוף פעמים הספרה 1 אחרי הנקודה העשרונית. לכן סכום הזמן אינו אין סופי אלא 11.111... שניות, כלומר 11 ותשיעית. ולכן זה הזמן שייקח לו להגיע אל הצב ומהצעד הבא הוא כבר יעקוף אותו. ―Aviv57 (שיחה | תרומות | מונה) לא חתם ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

זו הוכחה בנפנופי ידיים, שאינני מתלהב ממנה, במיוחד כאשר מדובר בהפרכה של פרדוקס. דוד שי - שיחה 10:02, 9 בספטמבר 2010 (IDT)

נכון, לכן השארתי גם את ההוכחה שהייתה קודם, והוספתי את ה"הוכחה" שלי כי היא פשוטה יותר להבנה, גם בלי ידע מוקדם בחשבון אינפיניטיסימלי ואת אלה שחולקים על השוויון $11.111...=11{\frac {1}{9}}$ הפנתי ל0.999...

לא צריך לדרדר את ויקי עם פישוט יתר. גילגמש • שיחה 10:17, 9 בספטמבר 2010 (IDT)

אני מאמין שאפשר ורצוי להסביר גם למי שלא יודע מה זה חשבון אינפיניטסימלי את הפתרון של הפרדוקס Aviv57 - שיחה 21:15, 9 בספטמבר 2010 (IDT)

החשבון האינפיניטסימאלי אינו יכול "לפתור" את הפרדוקסים של זנון מעצם הגדרתו

החשבון האינפיניטסימאלי מאפשר לעסוק בתנועה ורצפים על אף הפרדוקסים המדוברים. הוא עוקף אותם תוך הגדרת המושג הדמיוני "קטן כרצוננו". (גם הגדרת הגבול של קושי מבוססת בסופו של דבר על מושג זה). למעשה, החשבון האינפיניטסימאלי נובע מהפרדוקסים המדוברים, כך שטענה הטוענת ש"התאמתו" אליהם מהווה פתרון שלהם, היא טענה מגוחכת למדי.

יום טוב שיהיה.

אני אגיד קודם כל, שאני לא פילוסוף, ולכן יכול להיות שאני מפספס חלק מהטענות שלך (או של זנון).

אני מסכים עם עיקר הטענות שלך, אבל הייתי מנסח את זה אחרת: הפרדוקסים של זנון מדגימים איך חלוקה של אובייקטים סופיים למספר אינסופי של חתיכות נכנסת בצורה טבעית לשאלת התנועה. מבחינת זנון מדובר בפרדוקס, כיוון שהוא לא מאמין שתהליך בן אינסוף שלבים יוכל להסתיים בזמן סופי ולתת תוצאה. הפתרון של האינפי הוא בדיוק לתת מסגרת בה לתהליכים בני אינסוף שלבים יש (לפעמים) תוצאה סופית מוגדרת היטב.

הניסוח שנתת של האינפי באמת יותר מתאים לגישה המקורית (של ניוטון ולייבניץ'). בניגוד לכך, הגישה של קושי היא סינטטית לחלוטין. המושג "קטן כרצוננו" שם ניתן להשמטה - הוא נועד רק לנוחות הקורא וההוכחות מוכיחות עובדות בסגנון של "לכל מספר חיובי קיים מספר בו מתקיים כך וכך". אנחנו אומרים "קטן כרצוננו" (או "גדול כרצוננו") כדי להצביע על הכיוון בו ההוכחה מעניינת, אבל מבחינה פורמלית אין לו משמעות. לכן המושג המרכזי אצל קושי הוא רק מושג המספר הממשי ולא מושג האינפיניסטימל (אגב, הפיתוח של דדקינד של מושג המספר הממשי עצמו הופך אותו לאובייקט אינסופי בפני עצמו, כלומר במובן מסויים האובייקטים הסופיים היחידים שנשארו במתמטיקה הם המספרים הטבעיים).

כנראה שזנון עצמו לא היה מרוצה מהפתרון המודרני לשאלות שלו, ובאמת בתוך עולם המושגים שלו - זה לא פתרון (כי בסופו של יום נשארנו עם תהליכים אינסופיים שמסתיימים). בתוך עולם המושגים המודרני, זה בהחלט פתרון לשאלה של זנון. אולי כדאי לשנות את הניסוח של הערך בהתאם.

אגב, סתם קוריוז - הפרדוקס של זנון עצמו הוא דוגמה לתהליך אינסופי שנדחס לתוך אובייקט סופי. הוא מתאר במספר סופי של משפטים תהליך חלוקה אינסופי... יאיר ח. - שיחה 09:14, 25 בנובמבר 2013 (IST)

שלום יאיר. תודה רבה על ההתייחסות, ההבהרה, וההרחבה.

אציין גם, שסביר להניח שזנון היה כופר גם במושג המספר הממשי. להבנתי גישתו היתה שדבר שאינו נתפס בשכל, כמו מספר לא רציונאלי, אינו יכול להתקיים. איני יודע אם הוא התוודע להוכחת אי הרציונאליות של שורש שתיים, אך יתכן שמבחינתו היא הייתה מהווה ראייה לכך שלא יכול להתקיים משולש ישר זוית ושווה שוקיים, אלא חושינו משלים אותנו. יום טוב. אלחנ - שיחה 22:06, 25 בנובמבר 2013 (IST)

קודם כל, מנין הטענה שהחשבון האינפיניטסימאלי "נובע" מהפרדוקסים המדוברים? זה לא נכון, הוא פותח בשלבים רבים ע"י אנשים רבים, כל אחד לצורך חישובי אחר, ומדובר במאות שנים של פיתוחים. ניוטון, לייבניץ וקושי לא היו הראשונים - וגם הם לא עסקו באינפי בהקשר של הפרדוקסים דווקא. במציאות אין פרדוקסים, כלומר הם נובעים מניסוח לא מדויק דיו של הבעיה. בערך לא כתוב שהאינפי "מתאים" לפרדוקסים אלא נתון הפתרון לכל פרדוקס (לכאורה). 79.176.247.122 09:44, 25 בנובמבר 2013 (IST)

להבנתי אינפי אינו פותר את הפרדוקסים והמינוח הזה פשוט מטעה ביותר.

זנון אינו על סיכום של סכומים אינסופיים שאינו יכול להיות סופי (זה היה טיעון של הובס) אלא הבעיה שהוא מציג היא שהמשימה דורשת להשלים אינסוף צעדים. הדיון של Boyer, A History of Mathematics יכול להיות רלוונטי. נראה לי (אני צריך עדיין להכנס לעובי הקורה) שהטיעון הוא שאם אתה מאמין שאפשר לחלק את הרחב או הזמן לאינסוף ובו"ז להאמין שהוא מורכב מנקודות אטומיות (כפי שביקשו הפיתגוראים) אזי אתה בבעיה. הרעיון של רציפות ושל בדידות נמצא במתח בסיסי.

יהיה הפרוש הנכון אשר יהיה, הבעיות המושגיות סביב מושג המספר, ציר המספרים, המרחב, האינפיניטסימל אינן נפתרות על-ידי גישה מתמטית המצליחה לחשב דברים. זהו פתרון מוצלח לבעיה פרקטית ולא לדיון פילוסופי.

לעניות-דעתי הניסוח הנוכחי מטעה את הקורא ומוביל אותו לחשוב שכלי מתמטי פותר שאלות בסיסיות על המרחב והזמן - הוא לא.

שווה אולי להעיר שבעוד שהפורמליזם של דדקינד - קושי - ויירשטראס למושג הגבול אינו הפתרון האפשרי היחידי, וכמו שהראה רובינסון בשנות הששים, אפשר לפתח את החשבון האינפיניטסימלי עם מושג של מספר אינפינטיסימלי בסגנון לייבניציאני - כלומר עם מספרים הקטנים מכל מספר ממשי.

החיים מורכבים ולא ראוי לפשט אותם יתר על המידה. עפר ש - שיחה 12:29, 23 בינואר 2024 (IST)

התשובה לשאלה האם "החשבון האינפיניטסימלי פותר את הפרדוקסים של זנון" אומרת יותר על הבנתנו את המלה "פתרון" מאשר על אחד משני הנושאים שהיא מחברת. אבל אני לא מקבל את התאור של החשבון האינפיניטסימלי כשיטה לחשב דברים: הוא בראש וראשונה מציע מסגרת מושגית שמאפשרת לתת משמעות סופית לתהליכים וסכומים אינסופיים. עוזי ו. - שיחה 13:39, 23 בינואר 2024 (IST)

משהו שאין בערך

הסבר איפה הפרדוקסים תוארו בכתב לראשונה (אריסטו?) ואיזה נוסחים שונים, אם בכלל, קיימים. גם ציטוט של הניסוח הקדום ביותר חסר. בלי זה הערך מרגיש כמו fan fiction אפילו בלי כניסה לשאלה האם נכון לתייג את "הפתרונות" בתור "הפתרונות" (כלומר האם הם פתרונות ובוודאי אם הם הפתרונות --גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 07:19, 8 באוקטובר 2017 (IDT)

התמונה

מה קשורה התמונה של אכילס? הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
141.226.146.130 19:18, 25 בפברואר 2019 (IST)

היא מופיעה בפרק "פרדוקס אכילס והצב", אבל חסרה תמונה של צב. דוד שי - שיחה 19:49, 25 בפברואר 2019 (IST)

לפרדוקסים אין "פתרונות"

מצטרף למה שנאמר בדף השיחה לאורך השנים. לא נכון לומר שחשבון אינפיניטסימלי "פותר" את הפרדוקסים. זנון מן הסתם ידע שהארנב ישיג את הצב. חשבון אינפיניטסימלי מתעלם או עוקף את הבעיה עליה הצביע זנון. אני מציע לשנות בגוף הערך את פתרון לגישת החשבון האינפיניטסימלי. הרחבה: גם בויקיאנגלית מתייחסים לסוגיית ה"פתרון". בעוד שישנם מתמטיקאים שתופסים את הפרדוקס כבעיה מתמטית, פילוסופים מדגישים את ההיבט המטפיסי שלו. ישנן בויקיאנגלית מגוון התייחסויות פילוסופיות לפרדוקס. אבנר - שיחה 12:21, 8 בינואר 2021 (IST)