שיחה:בסיס (אלגברה)

שאלה על ניסוח

״הבסיס הסטנדרטי של מרחב המטריצות $\ M_{n\times m}(F)$ מורכב מ"מטריצות יחידה", שהן המטריצות $\ e_{ij}$ עם אפס בכל רכיב, פרט ל-1 במקום ה- (i,j). לכן ממד מרחב המטריצות הללו הוא $m*n$. בגלל האיזומורפיזם של מרחב המטריצות ומרחב ההעתקות הלינאריות, ניתן להסיק כי גם ממד של מרחב ההעתקות הלינאריות $T:F^{n}\to F^{m}$ הוא $m*n$״ אני למדתי שמטריצה nxm מייצגת העתקה מFm לFn.

אפשר גם כך וגם כך. עדיף לתקן. עוזי ו. - שיחה 19:57, 27 באוגוסט 2013 (IDT)

תיקנתי. תודה. Uziel302 - שיחה 21:34, 27 באוגוסט 2013 (IDT)

קבוצה שלמה, בסיס המל

"עבור ממדים אינסופיים מגדירים בסיס כקבוצה שלמה"

מהי קבוצה שלמה? איך ניתן להבין זאת מהערך? אין קישור לערך המתאים, והמילה "שלמה" לא מופיעה בערך בשום מקום אחר.

כמו כן, אולי כדי לכתוב על ההבדלה בין בסיס המל לבסיסים שאינם המל, ולא סתם לכתוב שמספר האיברים בצירוף יכול להיות סופי או אינסופי (כדי להסביר גם מה הכוונה בדיוק ב"צירוף אינסופי"). אם תרצה אעשה את זה בעצמי, אבל ההבנה שלי בנושא מועטה. גדי אלכסנדרוביץ' 04:24, 8 אפר' 2005 (UTC)

• קבוצה שלמה - כלומר ש span איברי הקבוצה צפוף במרחב עצמו.
• צירוף ליניארי אינסופי - עבור קבוצה אינסופית לוקחים מעין "טור" של האיברים, משהו בסגנון $\ v=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}{\hat {e_{n}}}}$.
• בסיסי המל - לא נתקלתי במושג הזה, במה מדובר?

MathKnight 14:47, 8 אפר' 2005 (UTC)

בסיס המל של מרחב הוא קבוצה (שיכולה להיות אינסופית) של וקטורים כך שכל וקטור במרחב ניתן להצגה כצירוף לינארי סופי של חלק מאברי הקבוצה (או אם תרצה, צירוף לינארי של כל אברי הקבוצה כך שהמקדמים של כל האברים פרט למספר סופי הוא 0).

ההגדרה שלך ל"קבוצה שלמה" היא משהו שלא נתקלתי בו עד עכשיו. תוכל להביא קישור למקום שמדבר על ההגדרה הזו? אני חשבתי שבסיס, גם אינסופי, הוא קבוצה מינימלית שניתן לכתוב כל וקטור מהמרחב באמצעות צירוף לינארי (סופי או אינסופי) של וקטורים ממנה, ולא רק להתקרב כרצוננו. הרי גם במרחב הילברט כמו l2 יש לנו את הבסיס הסטנדרטי (שהוא לא בסיס המל, אמנם, אבל יותר חזק מאשר רק פורש מרחב צפוף). גדי אלכסנדרוביץ' 14:56, 8 אפר' 2005 (UTC)

שאלה

"בסיס יכול להיות סופי, או אין-סופי. אם במרחב יש קבוצה פורשת סופית, אז הוא בעל בסיס סופי (ולכן גם ממד סופי). אחרת, הלמה של צורן נצרכת להוכחת קיום הבסיס, וממילא יש להניח את אקסיומת הבחירה."

האם צריך את אקסיומת הבחירה עבור כל מרחב ממימד אינסופי, או שקיימים מרחבים שעבורם ניתן להצביע על בסיס קונקרטי? גדי אלכסנדרוביץ' 20:48, 17 יולי 2005 (UTC)

אפשר לבנות מרחבים בעלי בסיס קונקרטי. למשל, לכל שדה F וקבוצה A, המרחב הוקטורי של הפונקציות מ- A ל- F הוא ממימד (בשיחה אפשר לכתוב מימד איך שרוצים!) |A|, עם בסיס שאפשר לזהות באופן מפורש עם A (דהיינו, הפונקציות המציינות). לעומת זאת, קיום בסיס במקרה הכללי הוא עניין הרבה יותר עדין, ואני די בטוח שהטענה 'לכל מרחב וקטורי קיים בסיס' שקולה לאקסיומת הבחירה.

אני מקווה שמן הערך אפשר להבין שאקסיומת הבחירה נחוצה להוכחת המשפט הכללי, ולא לכל מקרה בפני עצמו. עוזי ו. 21:32, 17 יולי 2005 (UTC)

אני חושש שלא, ולכן שאלתי... לדעתי, למרות העבודה הנהדרת שאתה עושה על ערכים, אתה מניח יותר מדי דברים כמובנים מאליהם או כידועים לכל הקוראים (כשיהיו דוגמאות ספציפיות נוספות אצביע עליהן). אגב, הטענה שקיים בסיס לכל מרחב וקטורי שקולה לאקסיומת הבחירה ולא רק נובעת ממנה? זה חדש לי. גדי אלכסנדרוביץ' 22:00, 17 יולי 2005 (UTC)

השערה לגבי ממדים

ההשערה: יש קבוצה של $n$ נקודות, שנמצאות על מרחב $n$ ממדי. האם כל $n$ הנקודות נמצאות גם על מרחב $n-1$ ממדי אחד?
נראה לי שאני צריך להוכיח את ההשערה על ידי האקסיומה שאם יש נקודות שנמצאות על מרחב $n$ ממדי הם גם נמצאות על מרחב $n+1$ ממדי. מה שחסר לי זה להוכיח שאם יש נקודות במרחב $n$ ממדי, תמיד אפשר להוסיף עוד נקודה, שלא תהיה במרחב ה-$n$ ממדי.

לא ברור למה אתה מתכוון בהדגשת המלה "אחד". זה נכון שכל n נקודות במרחב n ממדי שייכות לעל-מישור ממימד n-1 (על-מישור כזה הוא הזזה של תת-מרחב, אבל איננו בהכרח תת-מרחב בעצמו). מצד שני, אותו על-מישור אינו בהכרח יחיד - יתכן שכל n הנקודות נמצאות על קו ישר אחד, ודרכו עוברים אינסוף על-מישורים. עוזי ו. 14:21, 25 יולי 2006 (IDT)

הכוונה היא אחד לפחות. בכל מקרה ההשערה נכונה לכל n. הוכחתי.

הפנייה מעגלית

בסיס המל שמופיע בערך הזה מפנה לכאן.

==

הבסיס הסטנדרטי הוגדר רק עבור המרחב R^n בעוד שלכל המרחבים הידועים קיים בסיס סטנדרטי (מרחבי מטריצות או פולינומים לשם דוגמא) נראה לי שכדאי לציין שמדובר בדוגמא בלבד ולנסות להגדיר את המושג הכללי (למשל בעזרת ההתאמה בין ווקטורי בסיס לווקטורי הקוארדינטות שלו ב-F^n בסיס נקרא סטנדרטי אם ורק אם ווקטורי הקוארדינטות של איבריו הסדורים לפי הבסיס הסטנדרטי שווים לבסיס הסטנדרטי של F^n)

שאלה לגבי אחת הדוגמאות בערך

הדוגמה בערך: במרחב $\mathbb {R} ^{2}$ הקבוצה { (0,0) ,(1,1) , (1, 1-) } איננה בסיס, זאת מאחר שהווקטור (0,0) תלוי לינארית ב-2 הווקטורים האחרים. השאלה: האם ההנמקה לעיל נכונה.

כן. את 0 ניתן לכתוב תמיד כצירוף לינארי טריוויאלי (שכל המקדמים בו הם 0) של כל קבוצה של וקטורים.

למעשה כל קבוצה שמכילה את וקטור האפס היא תלויה לינארית (ובפרט אינה בסיס), משום שניתן באמצועתה להגיע לוקטור האפס בעזרת צירוף לינארי לא טריוויאלי.

אולי כדאי להחליף את הדוגמא הזאת בדוגמא פחות משעממת. הרי כל בחירה של 3 וקטורים תהייה תלוייה ליניארית, אז יש פה שילוב של דוגמא לא מעניינת, עם אופציה לבלבל אנשים שלא מתמצאים. להחליף? --יוחאי • שיחה 19:26, 1 ביולי 2007 (IDT)

מה לגבי מודולים?

האם לא הגיוני שהערך יעסוק במונח בסיס בצורתו הכללית יותר ויסביר את המונח של בסיס של מרחב וקטורי כמקרה פרטי? לירן (שיחה,תרומות) 14:30, 23 בנובמבר 2007 (IST)

הסדר צריך להיות לדעתי כזה: בפסקה הראשונה, הגדרה כללית ולא מתמטית של המושג; אחר-כך המקרה של מרחבים וקטוריים; ובסוף מודולים. עוזי ו. 17:48, 24 בנובמבר 2007 (IST)

מימד

הערך ממד (אלגברה לינארית) מפנה לכאן. האם לא ראוי שיכתבו מספר מילים על משמעותו? או אולי ערך בפני עצמו? ירון ק. - שיחה 20:06, 2 באוגוסט 2011 (IDT)

כתבתי ערך התחלתי. עוזי ו. - שיחה 03:15, 3 באוגוסט 2011 (IDT)