שיחה:אקסיומת הבנייה

הערות על הערך

לא שלי, אלא של דוקטורנט למתמטיקה שעוסק בתורת הקבוצות:

"ההגדרה מנוסחת בצרורה מעורפלת/מבולגנת/לא לגמרי פורמלית ומדוייקת. הערך מציג קדם-הנחות פילוסופיות כחלק מהדיון המתמטי פרופר. הוא כלל טענות שהן אולי נכונות, אך מנוסחות באופן מוזר. טענות אחרות (קיום קבוצה לא מדידה פשוטה) דורשות ניסוח מדוייק, והפיסקה שעוסקת בהיסטוריה של האקסיומה דורשת מקור (לא מצאתי תיעוד היסטורי דומה באף אחד מהטקסטים שנמצאים ברשותי)".

לתשומת לבכם. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 00:29, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תגובתו של כותב הערך (לפני שאחרים הוסיפו לערך את הפרק "הגדרה פורמלית"):

• הטענה ש"ההגדרה מנוסחת בצורה...לא לגמרי פורמלית", היא בלשון המעטה. למעשה, ככותבו של הערך (בין אם זה ערך רגיל, או קצרמר, או משהו באמצע), לא התימרתי כלל לתת הגדרה פורמלית לאקסיומת הבנייה, אלא אך ורק לתת לאקסיומה הזו מעין "סקירה מינימליסטית - ממצה עד כמה שאפשר במישור האינטואיטיבי - אך במפורש בלתי פורמלית", שכן מגמתי היתה, שהסקירה הזו תובן גם ע"י קהל כמה שיותר רחב, כולל ע"י מי שהכרתו את תורת הקבוצות היא ברמה האינטואיטיבית-פילוסופית בלבד - לא ברמה הטכנית-מתמטית. לכן, מראש כוונתי היתה להימנע מלהיכנס לפרטים הטכניים, ולכן - אגב - בכל מה שכתבתי לא מופיע אף סימן מתמטי (כולל לא הסימון ZF), ולא בכדי - אלא בכוונת מכוון. כמובן, בנוסף לסקירה הפופולרית הזו שנתתי (האופטימלית במישור האינטואיטיבי - לטעמי - דהיינו בכפוף למגבלה של ההימנעות מלהיכנס לפרטים הפורמליים), אין מניעה להוסיף כעת גם פרק - או כמה פרקים - שיכנסו גם לפרטים המתמטיים הפורמליים (אני כמובן תומך בכך), מה שכמובן יצריך הכנסת סימונים מיוחדים שיגדירו מה פירוש V=L.
• הטענה ש"ההגדרה מנוסחת בצורה...לא לגמרי...מדוייקת", מדברת אפוא על "הגדרה" - ולכן אני מתקשה להתייחס לטענה הנ"ל. אילו אכן היה מדובר בהגדרה, אז הייתי אומר כי - זה לא שהיא "לא מדוייקת" - אלא זה שהיא לגמרי שונה מההגדרה האותנטית של האקסיומה. אולם, הואיל וכאמור אין מדובר כלל וכלל ב"הגדרה" - אלא בסקירה פופולרית - שהיא ממילא יותר אינטואיטיבית-פילוסופית וכמה שפחות פורמלית, אז לטעמי הסקירה שנתתי היא הכי מדוייקת שאפשר - במיגבלות ההימנעות מלהיכנס לפרטים הטכניים (ואי השימוש בסימונים הפורמליים).
• הטענה ש"ההגדרה מנוסחת בצורה מעורפלת", היתה יכולה להיחשב כביקורת מוצדקת - אילו אכן היה מדובר ב"הגדרה". אולם, הואיל וכאמור לא מדובר בהגדרה - אלא בסקירה פופולרית - שהיא ממילא יותר אינטואיטיבית-פילוסופית וכמה שפחות פורמלית, אז העירפול כאן הוא המינימלי האפשרי (לטעמי) - בכפוף למיגבלות של ההימנעות מלהיכנס לפרטים הפורמליים.
• הטענה ש"הערך מציג קדם-הנחות פילוסופיות כחלק מהדיון המתמטי פרופר", היתה יכולה להיחשב כביקורת מוצדקת - אילו אכן המגמה שלי (ככותב הערך) היתה לערוך "דיון מתמטי". אבל זהו - שלא היתה לי שום כוונה כזו, אלא כוונתי היתה במפורש לתת לקורא הפשוט סקירה פופולרית - שממילא תהיה יותר אינטואיטיבית-פילוסופית אך ממש לא "מתמטית-פרופר". עם זאת, אני חוזר ומטעים שוב, כי לטעמי אין מניעה שלתוך הערך ישולב בהמשך גם איזשהו פרק "מתמטי-פרופר" - או כמה פרקים כאלה, וזאת על מנת שהערך הזה - הדן בסופו של דבר על נושא הלקוח מתוך עולמה של המתמטיקה - יועיל גם למתמטיקאים ולא רק לקהל הרחב או לפילוסופים.
• הטענה ש"ההגדרה מנוסחת בצורה...מבולגנת", וש"הערך...כולל טענות ש...מנוסחות באופן מוזר", אינה מובנת לי, כנראה בגלל שהיא אינה מגובה בדוגמאות.
• הטענה ש"טענות אחרות (קיום קבוצה לא מדידה פשוטה) דורשות ניסוח מדוייק", היתה יכולה להיות נכונה, אילו היא היתה מתייחסת אל פיסקאות שהיו מיועדות להיות מתמטיות. אבל זהו, שאין פיסקאות כאלה. לטעמי, בחלק הפופולרי-פילוסופי של הערך - ניתן להסתפק בקישורים בלבד, על מנת שהקורא הפשוט שאינו בהכרח מתמטיקאי - יוכל לדעת היכן לאתר את הפרטים המתמטיים המדוייקים - אם הוא אכן חפץ בכך. עם זאת, אותם פרקים מתמטיים עתידיים - אשר משילובם לתוך הערך אינני מסתייג כמובן (בלשון המעטה), אכן יצטרכו לכלול את הניסוחים המתמטיים הפורמליים - שממילא יצטרכו כמובן להיות "מדוייקים".
• הטענה ש"הפיסקה שעוסקת בהיסטוריה של האקסיומה דורשת מקור", מוסכמת עלי. עם זאת, ניתן בקלות למצוא לה מקור. אגב, על החלק ההיסטורי שמתייחס לאכסיומת ההגבלה של פרנקל, ניתן למצוא ברשת בעיקר מקורות בגרמנית (אך קצת גם באנגלית), בעוד שהחלק ההיסטורי שמתייחס לעבודתו של גדל - מתועד ברשת הרבה יותר, ודומני שניתן אפילו למצוא פרטים על כך בויקיפדיה הלועזית - במיוחד האנגלית.
• בשורה התחתונה, אני מקדם בברכה את כל מי שיוכל לפנות מזמנו להוסיף לערך גם את הפרקים המתמטיים הפורמליים (יתכן שאף אני אוכל בתקופה הקרובה לפנות זמן לשם כך - אם כי אינני מבטיח), אך זאת מבלי לפגוע בסקירה האינטואיטיבית הנוכחית - שכאמור מיועדת לקהל הרחב יותר - שאינו בהכרח אמון על הכרת הפרטים הטכניים-פורמליים של תורת הקבוצות.

סמי20 - שיחה 11:33, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה

לא הבנתי איך מאקסיומת הבנייה נובעת אקסיומת הבחירה. הרי היא אומרת שאפשר לבנות כל קבוצה, ואילו אקסיומת הבחירה אומרת שיש קבוצות שאי אפשר לבנות (פונקציית בחירה מקבוצות ממשיים למשל)

• תשובה: אם אכסיומת הבנייה נכונה, אז אפשר לבנות (ע"י אכסיומות צרמלו-פרנקל) כל פונקצית בחירה (כולל למשל פונקציית בחירה מקבוצות ממשיים), וזאת בזכות העובדה שמאכסיומת הבנייה נובעת השערת הרצף המוכללת שממנה נובעת אכסיומת הבחירה. במילים אחרות: אם אתה מבין איך ניתן להשתמש בהשערת הרצף המוכללת כדי לבנות כל פונקצית בחירה (רמז: מהשערת הרצף המוכללת נובע שיש פונקציה "חד-חד-ערכית" - טבעית לחלוטין אגב, ממחלקת המספרים המונים - "על" מחלקת המספרים הסודרים, למשל 2 בחזקת 0א מועתק אל 1א - וכדומה), אז ממילא הבנת איך ניתן להשתמש באכסיומת הבנייה (שכאמור גוררת את השערת הרצף המוכללת) כדי לבנות כל פונקצית בחירה. 77.125.78.144 12:21, 23 בדצמבר 2019 (IST)