משתמש:UriArieli/גורם מבנה

בפיזיקה של חומר מעובה וקריסטלוגרפיה, גורם המבנה הוא תיאור מתמטי של החומר, וממנו ניתן להסיק על הדרך בה החומר מפזר קרינה. גורם המבנה יעיל במיוחד בפענוח מבנה של חומרים בעזרת ניסויי פיזור של קרינת רנטגן, אלקטרונים וניוטרונים.

פיתוח מתמטי

תהא $\Phi (r)$ פונקציה סקאלרית המתארת את התפלגות החומר במרחב. עבור $N$ יחידות בסיס נוכל להגדיר:

$\Phi (r)=\sum \limits _{i=1}^{N}f({\textbf {r}}-{\textbf {R}}_{i})=f({\textbf {r}})*\sum \limits _{i=1}^{N}\delta ({\textbf {r}}-{\textbf {R}}_{i})$

אמפליטודת הפיזור, $I({\textbf {q}})$, תוגדר כריבוע של הערך המוחלט של טרנספורם פורייה של $\Phi ({\textbf {r}})$. כלומר:

$<I({\textbf {q}})>\thicksim <|\Phi ({\textbf {q}})|^{2}>=|f({\textbf {q}})|^{2}<\sum \limits _{j,k=1}^{N}exp(-i{\textbf {q}}\cdot ({\textbf {R}}_{i}-{\textbf {R}}_{j}))>$

נגדיר את גורם המבנה כ:

$S({\textbf {q}})=<\sum \limits _{j,k=1}^{N}exp(-i{\textbf {q}}\cdot ({\textbf {R}}_{i}-{\textbf {R}}_{j}))>$

כאשר $<...>$ הוא הממוצע בזמןף

משמעות פיזיקאלית

את גורם המבנה ניתן למצוא ניסיונית ע"י מדידת זוית הפיזור בניסויי פיזור של אלקטרונים וקרני רנטגן, כאשר ${\textbf {q}}={\textbf {k}}_{f}-{\textbf {k}}_{i}$ הוא וקטור השינוי בתנע של הפוטון\אלקטרון. ככל שקיימת קורלציה חזקה יותר במרחק המפריד בין מרכיבי המערכת, כלומר יש הסתברות גדולה למצוא ערך מסויים עבור ${\textbf {R}}_{ij}={\textbf {R}}_{j}-{\textbf {R}}_{i}$ , נקבל התאבכות בונה ב-$S({\textbf {q}})$ עבור הערך ${\textbf {q}}={\frac {2\pi n}{R_{ij}}}{\hat {R_{ij}}}$, וכך ניתן להסיק על המבנה של אותו חומר. בניסוי של פיזור ניוטרונים ניתן להסיק על יחס הנפיצה של הסריג, וזאת ע"י קבלה של פונקציות דלתא נוספות המתווספות לסריג ההופכי המתקבל מניסוי הפיזור. במקרה זה יתקבל הביטוי הבא עבור פונקציית המבנה:

$S({\textbf {q}},\omega )={\frac {1}{N}}\sum _{l,l'}e^{i{\textbf {q}}\cdot ({\textbf {R}}^{l}-{\textbf {R}}^{l'})}\int {\frac {dt}{2\pi }}e^{i\omega t}e^{-2W}e^{<{\textbf {q}}\cdot {\textbf {u}}^{l'}(t){\textbf {q}}\cdot {\textbf {u}}^{l}(t)>}$

כאשר ${\textbf {u}}^{l}(t)$ היא הסטייה של אטום $l'$ משיווי משקל בזמן $t$ ו-$W\equiv {\frac {1}{2}}<({\textbf {q}}\cdot {\textbf {u}}^{l})^{2}>$ הוא הפאקטור של דבאי וולר. פיתוח של הביטוי מוביל למסקנה שהשיאים הנוספים של הפיזור המתקבלים כתוצאה מבליעה ופליטה של פונונים הם פרופורציונאליים ל- $e^{-2W}$.

גורם מבנה עבור מערכת חד מימדית הבנויה עשרה חלקיקים. מלמעלה למטה: בכחול, חלקיקים המפוזרים באופן אקראי, בדומה לגז אידיאלי. באדום, חלקיקים אשר המרחק בין 2 שכנים קרובים הוא קבוע, בדומה לגביש מושלם. בשחור, חלקיקים אשר המרחק בין שכנים קרובים משתנה מעט בצורה אקראית, בדומה לגביש לא-מושלם.

גביש מושלם

עבור גביש מושלם אינסופי (סריג בראבה) שבו המיקום של כל אטום מתואר ע"י הוקטור ${\textbf {R}}=n{\hat {a_{1}}}+m{\hat {a_{2}}}+l{\hat {a_{3}}}$, כאשר $n,l,m\in \mathbb {Z}$ יש קורלציה חזקה מאוד בין מיקום האטומים בגביש, ותתקבל התאבכות בונה אך ורק עבור וקטורי ${\textbf {q}}$ אשר שייכים לסריג ההופכי, ונקבל שפונקציית המבנה מתארת למעשה את ההתפלגות המרחבית של הסריג ההופכי. במקרה החד-מימדי שבו מס' סופי של אטומים $N$, במקום פונקציות דלתא גורם המבנה שיתקבל יהיה:

$S(q)={\frac {1}{N}}|{\frac {sin{\frac {Nqa}{2}}}{sin{\frac {qa}{2}}}}|^{2}$

נוזל

במקרה של נוזל לא מסודר נעשה שימוש בפונקציית ההתפלגות הרדיאלית, $g(r)$, אשר מתארת את הסיכוי למצוא חלקיק בספירה דקה בעלת רדיוס $r$ ועובי $dr$. את פונקצית המבנה ניתן לרשום כך:

$S({\textbf {q}})\approx 1+n\int _{V}dre^{-i{\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}}[g({\textbf {r}})-1]$

המספר הממוצע של השכנים הקרובים יכול להיות מוערך ע"י ביצוע אינטגרציה את השיא הראשון של פונקציית ההתפלגות הרדיאלית:

$z_{average}=n\int _{0}^{1st\ peak}4\pi r^{2}g(r)dr$

פונקציית התפלגות רדיאלית האופיינית לנוזל במודל אינטראקציית Hardcore. השיא הראשון של הפונקציה הוא השיא המתאים למרחק של 2 כפול רדיוס הכדור.

גז אידיאלי

בגז אידיאלי, מכיוון שמדובר בחלקיקים נקודתיים ללא אינטראקציה, אין קורלציה בין מיקומי החלקיקים השונים והתרומה עבור כל וקטור גל, ${\textbf {q}}$ תהיה זהה. ולכן:

$S({\textbf {q}})={\frac {N}{V}}=constant$

פולימרים

עבור פולימרים

שימושים

גורם המבנה משמש ללמידה על הסטטיסטיקה של המבנה המיקרוסקופי של חומרים כגון מוצקים, נוזלים וגזים - אך גם של מבנים יותר מסובכים כגון ממברנות, פולימרים, ספינים ועוד. במקרה של פיזור ניוטרונים ניתן ללמוד גם על הדינמיקה של המבנה, כגון יחס הנפיצה של פונונים בענפים שונים בסריג, שבאה לידי ביטוי בתוספת של שיאים חדשים שאינם נמצאים בסריג ההופכי.

לקריאה נוספת

• Michael P. Marder, Condensed Matter Physics, John Wiley & Sons, inc., 2000
• 2000 , Ashcroft\Mermin , Solid State Physics , Saunders College Publishing

קישורים חיצוניים

• J. L. Yarnell, M. J. Katz, R. G. Wenzel, and S. H. Koenig , גורם מבנה ופונקציה התפלגות רדיאלית של ארגון נוזלי, Physical Review A
• A. J. Greenfield, J. Wellendorf, and Nathan Wiser, מציאת גורם המבנה של נתרן ואשלגן נוזליים, Physical Review A