משתמש:Razrajwan/סכמה (מתמטיקה)

במתמטיקה, סכמה הוא מבנה מתמטי, אשר מכליל את הרעיון של מגוון אלגברי, כך שיכלול בין היתר ריבוי אלגברי (למשל, המשוואה $x=0$ והמשוואה $x^{2}=0$ מגדירות את אותו מגוון אלגברי, אך הן בעלות סכמות שונות) ו"מגוונים" המוגדרים מעל חוגים (לדוגמה, עקום פרמה מוגדר מעל חוג המספרים השלמים).

סכמות הוצגו על ידי אלכסנדר גרותנדיק ב-1960 במסה שלו "יסודות הגאומטריה האלגברית"; אחת המטרות שלו הייתה לפתח את הפורמליזם כדי לפתור את בעיותיה העמוקות של הגאומטריה האלגברית, כגון השערות וויל (אשר הוכחה על ידי פייר דליין (Pierre Deligne)). שנסמך על חלופי אלגברה. תאוריית הסכמה מאפשרת שימוש שיטתי של שיטות של טופולוגיה ואלגברה הומולוגית. על ידי הכללה של שאלות רציונליות בתוך פורמליזם. תיאורית הסכמה מציגה קשר חזק בין גאומטריה אלגברית ותורת המספרים, אשר בסופו של דבר אפשרו לוויילס את ההוכחה אחרונה של משפט פרמה.

כדי להיות מדויק מבחינה טכנית, סכמה היא מרחב טופולוגי יחד עם חוגים קומוטטיביים בכל תחומי פיתוח המערכת, אשר נובעת מהדבקה של ספקטרה (מרחבים של אידיאלים ראשוניים) של חוגים קומוטטיביים כדי לפתח תת-קבוצות. במילים אחרות, זה מרחב מחויג אשר מאפשר ספקטרום של חוגים קומוטטיביים.

לכל סכמה S ייש מורפיזם ייחודי ל-Spec(Z)‎, הסכמה המשויכת לחוג המספרים השלמים. לכן סכמה עשויה להיות מזוהה עם מורפיזם של Spec(Z)‎, באופן דומה לעובדה שחוגים עשויים להיות מזוהים עם מבנה אלגברי של מספרים שלמים. זו נקודת ההתחלה, שלדעתו של גרותנדיק אשר מורכב רק מלימוד של מורפיזם של סכמות. זה לא מגביל את הכלליות, ומאפשר בקלות ציון מספר מאפיינים של סכמות. לדוגמה, יריעה אלגברית מעל שדה F מגדירה מורפיזם של סכמה ל-Spec(F)‎, אשר עשויה להיות מזוהה עם מגוון.

לפרטים נוספים על הפיתוח של תאוריית הסכמה, אשר במהירות הופכת להיות תובענית מבחינה טכנית, מומלץ לעיין קודם במילון מונחים של תורת הסכמות.

פיתוח

הגאומטריה האלגברית של בית הספר האיטלקי השתמשה לעיתים קרובות ברעיון מעט מעורפל של "נקודה גנרית", כדי להוכיח הצהרות על יריעה אלגברית. מה שנכון לנקודה הגנרית הוא נכון עבור כל נקודות המגוון למעט מספר קטן של נקודות מיוחדות. בשנת 1920, אמי נתר הייתה הראשונה שהציעה דרך כדי להבהיר את המושג: יש להתחיל עם תאום של מגוון החוגים (החוג של כל פולינום מוגדר על מגוון רחב); אידיאל מקסימלי של חוג זה יתאים את עצמו לנקודות רגילות על המגוון (בתנאים הולמים), אידיאל ראשוני לא מקסימלי יתאים למגוון הנקודות הגנריות, אחת עבור כל תת-חסות. על ידי לקיחת כל אידיאל ראשוני ניתן לקבל את כל האוסף הרגיל של נקודות גנריות. נתר לא המשיכהבגישה זו.

בשנת 1930, וולפגנג קרול עשה מהפך קיצוני: אם מתחילים עם חוג קומוטטיבי, ומתחשבים באידיאל הראשוני והופכים אותו למרחב טופולוגי על ידי הצגת טופולוגיית זריצקי, אפשר לחקור את הגאומטריה האלגברית של אובייקטים כלליים אלו. אחרים לא ראו טעם בכלליות זו, וקרול נטש אותו.

אנדרה וייל היה מעוניין בעיקר בגאומטריה אלגברית מעל שדות סופיים וחוגים אחרים. ב-1940 הוא חזר לגישת האידיאל הראשי ; הוא היה צריך מגוון מופשט (מחוץ למרחב פרויקטיבי) בגלל סיבות יסוד, במיוחד עבור קיום הגדרה אלגברית של מגוון יעקוביאן. בספרו של וויל (1946), נקודות גנריות בנויות על שדה סגור אלגברית ,הנקרא תחום "אוניברסלי"".

ב-1944 אוסקר זריצקי הגדיר את מרחב זריצקי–רימן מתוך שדה הפונקציות של מגוון אלגברי, לצרכים של גאומטריה בירציונלית. זה כמו לכוון גבול של מגוון רגיל (תחת "לפוצץ"), וכל הבנייה, מזכירה את תחום הערכה (תורת החוגים), כמו נקודות.

בשנת 1950, ז'אן-פייר סר, קלוד שבליי (Claude Chevalley) ומסיושי נגאטה (Masayoshi Nagata), מונעים במידה רבה על ידי ההשערות של וויל הנוגעות בתורת המספרים וגאומטריה אלגברית, עסקו בגישות דומות של אידיאלים פרימרים, כמו נקודות. על פי פייר קרטייה, המילה סכמה שימשה לראשונה בשנת 1956 בסמינר של שבליי, שם עסק שבליי ברעיונות של זריצקי. והיה זה אנדרה מרטינו, מי שהציע לסר את ההכללה לספקטרום של חוג.

הכללות מודרניות של מגוון אלגברי

אלכסנדר גרותנדיק נתן הגדרה סופית המבוססת על דור של הצעות והתפתחויות.^{[דרוש מקור]} הוא הגדיר את הספקטרום של חוג קומוטטיבי כמו החלל של אידיאלים ראשוניים עם הטופולוגיה של זריצקי, אבל הוא הרחיב את זה עם אלומה של חוגים: לכל הגדרה של זריצקי. הוא מקצה חוג קומוטטיבי כחוג "פונקציות פולינום". אובייקטים אלה הם ספקטרום של חוג; סכמה כללית שהושגה על ידי "הדבקה ביחד" מספר כזה של סכמות קרובות, באנלוגיה העובדה שניתן להשיג מגוון כללי על ידי הדבקה יחד של מגוון קרובים.

בתחילה הוטחה ביקורת על הכלליות של רעיון הסכמה: כמה סכמות הוסרו מהסיבה שלא ניתן לתת להם פרשנות גאומטרית. עם זאת, סכמות שרירותיות גורמות לכל הקטגוריה של הסכמות להתנהג באופן יותר טוב. יתר על כן, שיקולים טבעיים לגבי, למשל, moduli רווחים, מוביל לסכמות שהן "לא-קלאסיות". המופע של סכמות אלה שאינן מגוון (ולא בנויות כמגוון) יוצרות בעיות שהוצגו בתנאים קלאסים ויצרו קבלה הדרגתית של יסודות חדשים של הנושא.

לאחר מכן עבודה על מרחבים אלגברים וערימות אלגבריות על ידי Deligne , ממפורד, מייקל ארטן (Artin), במקור בהקשר של בעיות מידול שיפר עוד יותר את הגמישות המודרנית של גאומטריה אלגברית. גרותנדיק דגל בסוגים מסוימים של חוג טופוסים כמו הכללה של סכמות. בעקבות הצעותיו לסכמות יחסיות על חוג טופוסים פותחו על ידי מ' חכים. לאחרונה לרעיונות על ערימות אלגבריות גבוהות והומוטופיה או נגזרת גאומטריה אלגברית יש להוסיף הרחבה אלגברית לגאומטריה אינטואיטיבית, וזה מביא את הגאומטריה האלגברית קרוב יותר לתיאורית ההומוטופיה.

הגדרות

ספקטרום של חוג הוא מרחב מחויג מקומי האיזומורפי לספקטרום של חוג קומוטטיבי. נסמן את הספקטרום של חוג קומוטטיבי ב-$\operatorname {Spec} (A)$. סכמה זו היא מרחב מחויג X כיסוי לקבוצה U_I, כך הגבלה של מבנה אלומה O_X לכל U_I הוא ספקטרום של החוג. לכן ניתן לחשוב על סכמה כמכוסה על ידי "תרשימי תיאום" של ספקטרום של החוג. כוונת ההגדרה הרשמית לעיל שהסכמות מתקבלות על ידי הדבקה יחד בספקטרום של החוג עבור טופולוגיית זריצקי.

בעבר, האובייקט נקרא "פרה-סכמה", והסכמה הייתה מוגדרת כפרהסכמה נפרדת. המונח פרה-סכמה יצא מכלל שימוש, אך עדיין ניתן למצוא אותו בספרים ישנים, כגון הספר של גרותנדיק, "יסודות הגאומטריה האלגברית" וספרו של דיוויד ממפורד "הספר האדום".

הקטגוריה של הסכמות

סכמות הן צורה של קטגוריה אם ניקח בתור מורפיזם את המורפיזם של מרחב מחויג. (ראה גם: מורפיזם של סכמות.)

מורפיזם מתוך סכמות הספקטרום של החוג מובנות לגמרי במונחים של החוג ההומומורפי על ידי גרסה אחרת של זוג משותף: עבור כל סכמה X וכל חוג קומטטיבי A, קיימת באופן טבעי השקילות:

$\operatorname {Hom} _{\rm {Schemes}}(X,\operatorname {Spec} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\rm {CRing}}(A,{\mathcal {O}}_{X}(X)).$

כיון שZ הוא האובייקט הראשוני בתוך קטגוריה של חוג, לקטגוריה של הסכמות יש Spec(Z)‎ כמו האובייקט הסופי.

לקטגוריה של הסכמות יש מכפלה סופית, אבל נדרשת זהירות: הבסיס הטופולוגי של המכפלה של הסכמה (X, O_X) ו-(Y, O_Y) בדרך כלל אינו שווה למרחב המכפלה של מרחבים טופולוגים X ו-Y. למעשה, לבסיס המרחב הטופולוגי של המכפלה של הסכמה יש לעיתים קרובות יותר נקודות מאשר למכפלה של המרחב הטופולוגי. למשל, אם K הוא שדה עם תשעה איברים, אז Spec(K)‎ × Spec K≈ Spec(K ⊗_Z K) ≈ Spec(K ⊗_Z/3Z - K) ≈ Spec(K × K)‎, קבוצה עם שני איברים, על אף של-Spec(K)‎ יש רק איבר אחד.

עבור סכמה $S$, הקטגוריה של סכמות על $S$ יש גם מכפלת סיבים, ומכיוון שיש לו את האובייקט הסופי $S$, עולה כי יש לוגבולות סופיים.

דוגמאות

• Every affine scheme $\operatorname {Spec} (R)$ is a scheme.
• For a graded ring $R$, there is a scheme $\operatorname {Proj} (R)$. When $R$ has elements of non-zero degree, this scheme is not affine.
• In particular, let $R=\mathbb {C} [x,y,z]$ where each monomial has degree $1$. Then $\operatorname {Proj} (\mathbb {C} [x,y,z])$ is the complex projective plane $\mathbb {P} ^{2}$.
• The spectrum $\operatorname {Spec} {\big (}\mathbb {Q} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-\lambda )){\big )}$is the affine scheme corresponding to an affine plane curve. This curve is an elliptic curve with a single point removed.
• The previous example can be completed to an elliptic curve in the projective plane. This is done by homogenizing the equation of the curve and taking $\operatorname {Proj}$ instead of $\operatorname {Spec}$. That is, the curve is $\operatorname {Proj} {\big (}\mathbb {Q} [X,Y,Z]/((Y^{2}Z-X(X-Z)(X-\lambda Z)){\big )}$.
• The quotient of $\mathbf {A} ^{1}\coprod \mathbf {A} ^{1}$ by the equivalence relation $\mathbf {G} _{m}\hookrightarrow \mathbf {A} ^{1}\coprod \mathbf {A} ^{1}$. As rings, the equivalence relation is $\mathbf {Z} [x]\times \mathbf {Z} [y]\to \mathbf {Z} [t,t^{-1}]$, where the homomorphism sends $x$ and $y$ to $t$. This scheme is a line with two origins. It is not separated over $\operatorname {Spec} \mathbf {Z}$, so in particular, it is not affine.
• Another example of a non-affine scheme is $\mathbf {A} _{\mathbb {C} }^{n}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{m}\}$, where $\{P_{1},\ldots ,P_{m}\}$ is a finite set of points and $n>1$. (The restriction on $n$ is necessary because $\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,(x-P_{1})^{-1},\ldots ,(x-P_{m})^{-1}])$ is the affine line with $\{P_{1},\ldots ,P_{m}\}$ removed.) The cohomology of the structure sheaf may be calculated using Čech cohomology and is non-trivial in degrees $0$ and $n$. Since cohomology groups on an affine scheme are trivial outside of degree zero, this scheme is not affine.
• Let $k$ be a field. Then the scheme $\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)$ is an affine scheme whose underlying topological space is the Stone–Čech compactification of the natural numbers (with the discrete topology). In fact, the prime ideals of this ring are in bijective correspondence with the ultrafilters on the natural numbers, with the ideal $\textstyle \prod _{\{m\colon m\neq n\}}k$ corresponding to the principal ultrafilter on the natural number $n$. This makes the space zero-dimensional, and in particular, each point of this space is an irreducible component. Since affine schemes are quasi-compact, this is an example of a quasi-compact scheme with infinitely many irreducible components.

O_X מודולים

בדיוק כפי שה-R-מודולים מרכזיים באלגברה קומוטטיבית כאשר חוקרים את החוג הקומוטטיבי R, כך גם ה-O_X-מודולים מרכזיים בחקר של הסכמה X עם מבנה אלומה O_X‎. (ראו מרחב מחויג מקומית להגדרה של O_X-מודולים.) הקטגוריה של O_X-מודולים היא אבלית. חשיבות מיוחדת קיימת לאלומות קוהרנטיות על X, אשר נובעים ממודולים (רגילים) נוצרים סופית על החלקים האפיניים של X. הקטגוריה של אלומות קוהרנטיות על X גם היא אבלית.

קטגוריה:מתמטיקה קטגוריה:מתמטיקה שימושית