משתמש:Razrajwan/סכימה (מתמטיקה)

ב מתמטיקה, סכמה הוא מבנה מתמטי. מבנה זה מגדיל את הרעיון של מגוון אלגברי לכלול, בין היתר ריבוי אלגברי (המשוואה x = 0 ו - x² = 0 מגדירות את אותו מגוון אלגברי אך הן בעלות סכמות שונות) ו "מגוון מוגדר על ידי טבעות (לדוגמה עקום פרמה  מוגדר על  ידי מספרים שלמים).

סכמות הוצגו על ידי אלכסנדר גרותנדיק ב-1960 במסה שלו "יסודות הגיאומטריה האלגברית"; אחת המטרות שלו הייתה לפתח את הפורמליזם כדי  לפתור את בעיותיה העמוקות של הגאומטריה האלגברית, כגון השערות   וויל( אשר הוכח על ידי פייר Deligne). שנסמך על  חלופי אלגברה. תאוריית הסכמה  מאפשרת שימוש שיטתי של שיטות של טופולוגיה ו אלגברה הומולוגית. על ידי הכללה של שאלות רציונליות  בתוך פורמליזם. תיאורית הסכמה מציגה קשר חזק בין גאומטריה אלגברית ו תורת המספרים, אשר בסופו של דבר אפשרו לוויילס את ההוכחה אחרונה של משפט פרמה.

כדי להיות מדויק מבחינה טכנית, סכמה היא מרחב טופולוגי יחד עם טבעות חלופיות בכל תחומי פיתוח המערכת, אשר נובעת מהדבקה של ספקטרה (מרחבים של אידיאלים ראשוניים) של  טבעות  חלופיות כדי לפתח תת קבוצות. במילים אחרות, זה מרחב מחויג אשר מאפשר ספקטרום של טבעות חלופיות.

לכל סכמת S ייש מורפיזם ייחודי לספק(Z), הסכמה קשורה לטבעת  של מספרים שלמים. לכן סכמה עשויה להיות מזוהה עם מורפיזם של ספק(Z), באופן דומה כמו שטבעות עשויות להיות מזוהות עם מבנה אלגברי של מספרים שלמים. זו נקודת ההתחלה, של דעתו של גרותנדיק אשר מורכב רק מלימוד של מורפיזם של סכמות. זה לא מגביל את הכלליות, ומאפשר בקלות ציון מספר מאפיינים של סכמות. לדוגמה, יריעה אלגברית מעל שדה F מגדיר מורפיזם של סכמה  לספק (F), אשר עשויה להיות מזוהה עם מגוון.

לפרטים נוספים על הפיתוח של תיאוריית  הסכמה, אשר במהירות הופכת להיות מבחינה טכנית תובענית, יש לראות קודם מילון מונחים של תאוריית הסכמה.

פיתוח

הגיאומטריה האלגברית של בית הספר האיטלקי השתמשה לעתים קרובות ברעיון מעט מעורפל של "נקודה גנרית", כדי להוכיח הצהרות על יריעה אלגברית. מה שנכון  לנקודה הגנרית הוא נכון עבור כל נקודות המגוון למעט מספר קטן של נקודות מיוחדות. בשנת 1920, אמי נתר היתה הראשונה שהציעה דרך כדי להבהיר את המושג: יש להתחיל עם תאום של מגוון הטבעות (הטבעת של כל פולינום מוגדרת על מגוון רחב); אידיאל מקסימלי של טבעת זו יתאים את עצמו לנקודות  רגילות על המגוון (בתנאים הולמים), אידיאל ראשוני  לא מקסימלי יתאים  למגוון הנקודות הגנריות , אחת עבור כל תת חסות. על ידי לקיחת כל אידיאל ראשוני ניתן לקבל  את כל האוסף הרגיל של  נקודות גנריות. נתר לא  המשיכהבגישה זו.

בשנת 1930, וולפגנג קרול  עשה מהפך קיצוני: התחיל עם  הטבעת הקומוטטיבית, תוך התחשבות באידאל הראשוני והפך אותה למרחב טופולוגי על ידי הצגת  טופולוגיית זריצקי ולימוד  הגאומטריה האלגברית של  אובייקטים. כלליים. אחרים לא רואה את הטעם לכלליות וקרול נטש אותו.

אנדרה וייל היה מעוניין בעיקר בגאומטריה אלגברית מעל שדות סופיים  וטבעות אחרות. ב-1940 הוא חזר לגישת האידיאל הראשי ; הוא היה צריך  מגוון מופשט (מחוץ  למרחב פרויקטיבי)  בגלל סיבות יסוד, במיוחד עבור קיום  הגדרה אלגברית של  מגוון יעקוביאן.  בספרו של וויל (1946), נקודות גנריות  בנויות על שדה סגור אלגברית ,הנקרא  תחום אוניברסלי .

ב-1944 אוסקר  זריצקי מגדיר מהו  מופשט :מרחב Zariski–רימן מתוך הפונקציה בסכמה. יריעה אלגברית  לצרכים של גיאומטריה בירציונלית . זה כמו לכוון גבול של מגוון רגיל(תחת "לפוצץ"), וכל הבנייה, מזכירה  את תחום הערכה (תורת החוגים) , כמו נקודות.

בשנת 1950, ז ' אן-פייר Serre, קלוד Chevalley ו Masayoshi נגאטה, מונע במידה רבה על ידי טוב השערות הנוגעות תורת המספרים ו גאומטריה אלגברית, נרדף דומה גישות עם ראש הממשלה אידיאלים, כמו נקודות. על פי פייר קרטייה, המילה סכמה שימשה לראשונה בשנת 1956  בסמינר של Chevalley , אשר Chevalley היה רודף  את Zariski  בשל רעיונותיו;  היה  זה אנדרה מרטינו , מי שהציע  לסרה  את  ספקטרום של חוג הטבעת.