משתמש:Belin kov/שקילות אסטרטגית

שקילות אסטרטגית היא מושג בתורת המשחקים העוסק בקשר שבין משחקים בצורה קואליציונית. במשחק בצורה קואליציונית שחקנים נדרשים לחלק ביניהם סכום כסף כלשהו. שני משחקים הם שקולים אסטרטגית אם כל אחד יכול להתקבל מהשני על ידי שינוי יחידות המדידה ותוספת סכום קבוע לכל שחקן.

הגדרות

משחק בצורה קואליציונית הוא זוג $\left(N,v\right)$ בו קבוצת השחקנים היא $N=\{1,2,\cdots ,n\}$ ו-$v$ היא הפונקציה הקואליציונית, או פונקציית הרווח, המתאימה לכל תת-קבוצה $S$ של שחקנים מספר ממשי. הפונקציה הקואליציונית $v$ מקיימת כי $v\left(\emptyset \right)=0$. אנו חושבים על תת-קבוצות של $N$ כעל קואליציות. לפיכך, הפונקציה הקואליציונית מתאימה לכל קואליציה שווי מסוים.

משחק בצורה קואליציונית $\left(N,v\right)$ שקול אסטרטגית למשחק $\left(N,w\right)$ אם קיימים מספרים $a>0$ ו-$b_{1},\cdots ,b_{n}\in \mathbb {R}$ כך שלכל קואליציה $S\subseteq N$ מתקיים: $w\left(S\right)=av\left(S\right)+\sum _{i\in S}b_{i}$.

דוגמא

הרעיון בשקילות אסטרטגית הוא שניתן לתאר אותה סיטואציה על ידי שני משחקים שונים. לדוגמא, יתכן שהפונקצייה הקואליציונית מתאימה לכל קואליציה סכום כסף בשקלים. באותה מידה ניתן להמיר את סכום הכסף הזה לדולרים. שער ההמרה בין שקל לדולר מקביל לקבוע $a$ בהגדרת השקילות.

בנוסף, יתכן שכל שחקן נותן חלק מהרווח שלו לצדקה, או שהוא מקבל הכנסות מסוימות ממקורות אחרים. במקרה כזה, ההכנסה של שחקן $i$ מקבילה לקבוע $b_{i}$.

תכונות

• לא כל שני משחקים שקולים אסטרטגית. לדוגמא, נתבונן במשחק $\left(N,v\right)$ בו יש שלושה שחקנים ($N=\{1,2,3\}$), והפונקצייה הקואליציונית נתונה על ידי הערכים הבאים: (א) $v\left(1\right)=v\left(2\right)=v\left(3\right)=0$, (ב) $v\left(1,2\right)=v\left(1,3\right)=v\left(2,3\right)=1$, (ג) $v\left(1,2,3\right)=1$. משחק זה אינו שקול, למשל, למשחק זהה בו $v\left(1,2,3\right)=2$, מכיוון שתנאי השקילות מחייב שכל הקבועים $b_{i}=0$ וש-$a=1$.
• כל משחק $\left(N,v\right)$ שקול אסטרטגית למשחק $\left(N,w\right)$ בו $w\left(i\right)=0$, כלומר, למשחק בו השחקנים לא מרוויחים דבר אם הם לא משתפים פעולה.
• שקילות אסטרטגית היא יחס שקילות.

ראו גם

• משחק שיתופי

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, הוצאת הספרים ע"ש י"ל מאגנס, 2008.

קטגוריה: תורת המשחקים