משתמש:ירון/ארגז 2

הלגראנג'יאן, בסימון המקובל L, הוא גודל המסייע בניתוח מערכות דינמיות. זוהי פונקציה ממנה ניתן לגזור את הדינמיקה של המערכת. שמה של הפונקציה בא לה משמו של ז'וזף לואי לגראנז'.

במכניקה הקלאסית, הלגראנז'יאן מוגדר כהפרש בין האנרגיה הקינטית T לאנרגיה הפוטנציאלית V של המערכת. בסימון המתמטי:

$\ L=T-V$

תחת התנאים שקובעת המכניקה הלגראנז'יאנית, ידיעת הלגראנז'יאן מאפשרת לקבל את משוואות התנועה של המערכת על-ידי הצבתו במשוואת אוילר-לגראנז'.

הפורמליזם של לגראנז'

חשיבות

הניסוח הלגראנז'יאני של המכניקה חשוב בשל התובנות העמוקות שהוא מאפשר לקבל אודות מערכת פיזיקלית כלשהי, וכן בשל היישומים הרבים שלו. אף שיישומו המקורי היה רק בתחומי המכניקה הקלאסית, עקרון הפעולה המינימלית שממנו ניתן לגזור את משוואת אוילר-לגראנז' הוא בעל יישומים גם במכניקת הקוונטים ובתחומי נוספים של הפיזיקה.

בנוסף, הפורמליזם הלגראנז'יאני מאפשר לקבל את משפט נתר, המקשר בין סימטריות רציפות של מערכת פיזיקלית לבין גדלים שמורים הקיימים בה.

יתרונות

• הניסוח של לגראנז' לא מחייב שימוש במערכת קואורדינטות מסוימת. במקום זאת, כל קבוצת משתנים נוחה עשויה לשמש לתיאור המערכת; משתנים אלו נקראים "קואורדינטות מוכללות", והם עשויים להיות כל אחד מהגדלים המתארים את המערכת (למשל, עוצמת השדה המגנטי בנקודה מסוימת, זווית של מטוטלת וכד'. תכונה זו מקלה על שילובם של אילוצים לתוך התיאוריה, וזאת על-ידי הגדרת קואורדינטות שמתארות מצבים מותרים (על האילוצים) של המערכת.
• אם הלגראנז'יאן לא משתנה תחת סימטריה כלשהי, אז גם משוואות התנועה שתופקנה ממנו לא ישתנו תחת אותה הסימטריה. עובדה זו חשובה בבדיקה שתיאוריה מתיישבת עם תורות היחסות הפרטית והכללית.
• התבוננות בלגראנז'יאן עצמו עשויה לנפק מידע רב-ערך באשר למערכת הפיזיקלית, בכל הנוגע לקיומם של גדלים שמורים, ובפרט שימור האנרגיה בה.

קואורדינטות ציקליות וחוקי שימור

תכונה חשובה של הלגראנז'יאן היא שניתן לחלץ ממנו חוקי שימור בקלות יחסית. אם לגראנז'יאן כלשהו תלוי בנגזרת על פי הזמן ${\dot {q}}_{i}$ של קואורדינטה מוכללת כלשהי, אך אינו תלוי בקואורדינטה $\ q_{i}$ עצמה, אז התנע המוכלל הצמוד לקואורדינטה, במוגדר על ידי $p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$, הוא גודל שמור (קבוע בזמן) במערכת. זוהי תוצאה ישירה של משוואת אוילר לגראנז' עבור אותה הקואורדינטה, וניתן להסיקה גם ממשפט נתר. קואורדינטות כאלה, שהתנע הצמוד אליהן הוא גודל שמור, נקראות קואורדינטות ציקליות (cyclic) או חסרות (כי הן עצמן אינן מופיעות בלגראנז'יאן, אלא רק הנגזרות שלהן בזמן).

יתר על כן, אם הלגראנז'יאן אינו תלוי מפורשות בזמן (כלומר, הזמן אינו מופיע בו במפורש), אז גם ההמילטוניאן של המערכת נשמר. במקרים רבים (אך לא בכולם) ההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכוללת של המערכת, ואז שימור ההמילטוניאן פירושו גם שימור אנרגיה.

הסבר

משוואות התנועה נגזרות מתוך עיקרון הפעולה, כאמור לעיל. באופן כללי אם כן ניתן לדרוש:

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0\,.$

כאשר הפעולה, S, היא פונקציונל שתלוי בקואורדינטות הבלתי-תלויות $\varphi _{i}(s)$ ובנגזרותיהן בזמן, וב-s עצמו:

${\mathcal {S}}\left[\varphi _{i},{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial s}}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left[\varphi _{i}[s],{\frac {\partial \varphi _{i}[s]}{\partial s^{\alpha }}},s^{\alpha }\right]\,\mathrm {d} ^{n}s}$

כאשר $s=\{s^{\alpha }\}\!$ מציין סט של n משתנים בלתי-תלויים המתארים את המערכת, הממוספרים מ-1 ועד n.

משוואות התנועה הנגזרות מתוך נגזרת פונקציונל הפעולה נקראות משוואות אוילר-לגראנז'. למשל, במכניקה קלאסית, המשתנה הבלתי תלוי היחיד הוא הזמן t, ולכן משוואות התנועה הן:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}_{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}$

דוגמאות למערכות דינמיות שניתן לתאר באמצעות לגראנג'יאן שניתן לגזור מתוכו משוואות תנועה, נעות החל מן הגרסה הקלאסית של המודל הסטנדרטי, דרך משוואות התנועה, ועד לבעיות מתמטיות גרידא כמו משוואות גיאודזיות ובעיית פלטה (Plateau).

דוגמה ממכניקה קלאסית

קואורדינטות קרטזיות

נדגים את הפורמליזם האמור באמצעות בעיה פשוטה: חלקיק בעל מסה m נע במרחב התלת-מימדי תחת השפעתו של פוטנציאל כללי $\ V({\vec {x}})$ התלוי במיקומו במרחב. אם נתאר את הבעיה בקואורדינטות קרטזיות, הלגראנז'יאן יהיה בעל הצורה:

$L({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}})\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\ -\ V({\vec {x}})$

משוואות אוילר לגראנז' עבור הקואורדינטות הללו יהיו מן הצורה:

${\frac {d~}{dt}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ -\ {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}\ =\ 0$

עבור $i=1,2,3$.

נחשב את הנגזרות הנחוצות:

${\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}\ =\ -\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}$

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\ =\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\left(\,{\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\,\right)\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\left(\,{\dot {x}}_{i}\,{\dot {x}}_{i}\,\right)=\ m\,{\dot {x}}_{i}$

${\frac {d~}{dt}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ =\ m\,{\ddot {x}}_{i}$

ניתן לכתוב את המשוואות הללו בכתיב וקטורי:

$m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0$

כאשר, בהתאם למוסכמות, גזירה בזמן מיוצגת על-ידי נקודה הנמצאת מעל לגודל הנגזר, ו-$\nabla$ הוא אופרטור הגרדיאנט. ניתן לראות כי התוצאה שהתקבלה שקולה לזו שמתקבלת בעזרת הגישה הניוטונית: הכוח שמפעיל שדה הפוטנציאל הוא ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$, ולפי החוק השני של ניוטון מתקיים ${\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}$.

באמצעות דריבציה דומה ניתן לקבל גם את צורתו הכללית של החוק השני של ניוטון, ${\vec {F}}=\mathrm {d} {\vec {p}}/\mathrm {d} t$.

קואורדינטות כדוריות

כעת נניח שהפוטנציאל V תלוי רק במרחק החלקיק מראשית הצירים, ולא בכל יתר מאפייני המיקום שלו. במצב זה נוח יהיה לתאר את הבעיה בקואורדינטות כדוריות:

$L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r).$

משוואות אוילר-לגראנז' המתקבלות הן:

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0$

משוואות התנועה, כפי שניתן לראות, מורכבות יחסית לאלו המתקבלות במערכת הקרטזית, אולם ניתן לראות מידית כי קיבלנו גודל שמור במשוואה האחרונה.

לגראנז'יאן של חלקיק בוחן

חלקיק בוחן הוא חלקיק שמסתו ומטענו הם כה קטנים עד שהשפעתו של המערכת בה הוא נמצא קטנים מאוד וניתנים להזנחה. על פי רוב, זהו חלקיק נקודתי היפותטי שכל המאפיינים שלו הם מסה ומטען. חלקיקים אמיתיים, כמו אלקטרון וקווארק למעלה, מכילים איברים נוספים בלגראנז'יאן שלהם.

חלקיק בוחן קלאסי בכבידה ניוטונית

נתבונן בחלקיק שמסתו $\ m$ ומיקומו $\ {\vec {x}}$, הנמצא בשדה כבידה עם פוטנציאל $\ \zeta$ ליחידת מסה. נכתוב את הביטויים עבור האנרגיות של החלקיק:

$T[t]={1 \over 2}m{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t]$

$V[t]=m\zeta [{\vec {x}}[t],t].$

לכן הלגראנז'יאן יהיה:

$L[t]=T[t]-V[t]={1 \over 2}m{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t]-m\zeta [{\vec {x}}[t],t].$

נכתוב את משוואת אוילר-לגראנז' עבור הלגראנז'יאן:

$m{\ddot {\vec {x}}}[t]=-m\nabla \zeta [{\vec {x}}[t],t]$

חלקיק בוחן יחסותי בשדה אלקטרו-מגנטי

בתורת היחסות הפרטית, הביטויים הקינמטיים כולם משתנים על-מנת לעמוד בפוסטולטים של אלברט איינשטיין. כעת:

$-mc^{2}{\frac {d\tau [t]}{dt}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}$

$=-mc^{2}+{1 \over 2}mv^{2}[t]+{1 \over 8}m{\frac {v^{4}[t]}{c^{2}}}+\dots$

כאשר c היא מהירות האור בוואקום, ו-$\ \tau$ הוא הזמן העצמי של החלקיק. כפי שניתן לראות, האיבר השני בפיתוח טיילור הוא האנרגיה הקינטית הקלאסית.

כעת נניח שלחלקיק מטען חשמלי $\ q$ והוא נמצא בשדה אלקטרומגנטי המאופיין בפוטנציאל סקלרי $\ \phi$ ופוטנציאל וקטורי $\ {\vec {A}}$. הלגראנז'יאן של החלקיק יהיה:

$L[t]=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}-q\phi [{\vec {x}}[t],t]+q{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]$

משוואת אוילר לגראנז' המתאימה תהיה:

$\ {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m{\dot {\vec {x}}}[t]}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}[t]}{c^{2}}}}}}\right)=-q\nabla \phi [{\vec {x}}[t],t]-q\partial _{t}{\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]-q{\dot {\vec {x}}}[t]\cdot \nabla {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]+q\nabla {\vec {A}}[{\vec {x}}[t],t]\cdot {\dot {\vec {x}}}[t]$

ואכן, זוהי הנוסחה לכוח לורנץ, כאשר:

${\vec {E}}[{\vec {x}},t]=-\nabla \phi [{\vec {x}},t]-\partial _{t}{\vec {A}}[{\vec {x}},t]$

${\vec {B}}[{\vec {x}},t]=\nabla \times {\vec {A}}[{\vec {x}},t]$

מטען בוחן ביחסות כללית

בתורת היחסות הכללית, הביטויים כוללים הן את האנרגיה הקינטית הקלאסית והן את האינטראקציה של החלקיק עם השדה הגרביטציוני. כעת מתקיים:

$-mc^{2}{\frac {d\tau [t]}{dt}}=-mc{\sqrt {-g_{\alpha \beta }[x[t]]{\frac {dx^{\alpha }[t]}{dt}}{\frac {dx^{\beta }[t]}{dt}}}}$

הלגראנז'יאן של החלקיק בשדה אלקטרומגנטי יהיה:

$L[t]=-mc{\sqrt {-g_{\alpha \beta }[x[t]]{\frac {dx^{\alpha }[t]}{dt}}{\frac {dx^{\beta }[t]}{dt}}}}+q{\frac {dx^{\gamma }[t]}{dt}}A_{\gamma }[x[t]]$

תורת השדות

האינטגרל הזמני על הלגראנז'יאן נקרא פעולה. בתורת השדות, לעתים מבחינים בין הלגראנז'יאן $\ L$, שהאינטגרל הזמני עליו הוא הפעולה:

${\mathcal {S}}=\int {L\,\mathrm {d} t}$

לבין צפיפות הלגראנז'יאן ${\mathcal {L}}$, שהאינטגרל עליה על כל המרחב-זמן הוא הפעולה:

${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,\mathrm {d} ^{4}x}$

אם כן, הלגראנג'יאן הוא האינטגרל המרחבי על צפיפות הלגראנז'יאן. עם זאת, צפיפות הלגראנז'יאן ${\mathcal {L}}$ מכונה לעתים בפשטות לגראנז'יאן. הגדרת צפיפות הלגראנז'יאן שימושית יותר בתורות יחסותיות שכן הוא מוגדר מקומית וכן הוא סקלר לורנץ (אינווארינטי תחת טרנספורמציית לורנץ).תורות שדה קוונטיות בפיזיקת החלקיקים, כמו אלקטרודינמיקה קוונטית, מתוארות במונחי ${\mathcal {L}}$ דווקא.