מרחב קמור מקומית

במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, מרחב קמור מקומית הוא מרחב וקטורי טופולוגי בעל בסיס סביבות מקומי הבנוי מקבוצות פתוחות קמורות לחלוטין.

למרחבים מסוג זה חשיבות רבה שכן הם מהווים הכללה למרחבים נורמיים. מעבר לכך, מרחבים אלו מקיימים גרסאות מופשטות של משפטים באנליזה כגון משפט האן-בנך, וכן ניתן להגדיר עליהם את מונח הנגזרת באופן טופולוגי על-ידי נגזרת גאטו.

המושג נוסח לראשונה על-ידי ג'ון פון ניומן בשנת 1935

מבוא ומוטיבציה

בהינתן מרחב וקטורי $V$ מעל השדה $\mathbb {K}$ ($\mathbb {K} =\mathbb {R}$ שדה הממשיים או $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ שדה המרוכבים) ונורמה $\rho :V\to \mathbb {R}$ המוגדרת עליו, ניתן לבנות טופולוגיה על המרחב הנפרסת באמצעות הכדורים הפתוחים לפי נורמה זו. טופולוגיה זו מקיימת מספר תכונות חשובות, שהמרכזית שבהן היא שפעולות ההזזה $v\to v+a$ וההכפלה בסקלר $v\to \gamma v$ הן פעולות רציפות לפי טופולוגיה זו.

קבוצת הכדורים הפתוחים שמרכזם בראשית מהווה בסיס מקומי לטופולוגיה המורכב מקבוצות קמורות לחלוטין. בגלל הרציפות להזזות ניתן לבנות מכדורים אלו בלבד את הטופולוגיה כולה על-ידי איחוד כדורים אלו והזזתם. מרחבים וקטוריים טופולוגיים שבהם ניתן לבנות בסיס מקומי בראשית המורכב מקבוצות קמורות לחלוטין נקראים מרחבים קמורים מקומית, ומכך כל מרחב נורמי קמור מקומית.

עם זאת, ישנם מרחבים וקטוריים טופולוגיים שאינם קמורים מקומית, ועל כן אינם נורמביליים (קריא, לא ניתן להגדיר עבורם נורמה שהטופולוגיה המושרית ממנה מתלכדת עם הטופולוגיה של המרחב). יתרה מכך, ישנם מרחבים קמורים מקומית שאינם נורמביליים. בכך מהווים מרחבים קמורים מקומית עידון של מרחבים נורמיים.

הגדרות מתמטיות

למרחב קמור מקומית שתי הגדרות שקולות.

הגדרה באמצעות בסיס מקומי בראשית

בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי $V$ מעל השדה $\mathbb {K}$ ($\mathbb {K} =\mathbb {R}$ או $\mathbb {K} =\mathbb {C}$) בעל טופולוגיה ${\mathcal {T}}$, $V$ ייקרא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית אם קיים בסיס מקומי של הראשית ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {T}}$ המורכב מקבוצות קמורות לחלוטין בלבד.

למעשה, בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי $V$ עם טופולוגיה ${\mathcal {T}}$ אשר פעולות ההזזה בו הן רציפות, מספיק להראות כי לראשית יש בסיס מקומי המורכב מקבוצות פתוחות קמורות (לאו דווקא לחלוטין) כדי להוכיח שהוא קמור מקומית. ניתן לעשות זאת על ידי לקיחת הקמור המאוזן של כל קבוצה בבסיס המקומי ובכך ליצור בסיס מקומי חדש המורכב מקבוצות קמורות לחלוטין.

בגלל שאיברי ${\mathcal {B}}$ הם סביבות פתוחות של הבסיס במרחב וקטורי טופולוגי, נובע בהכרח כי כל $B\in {\mathcal {B}}$ היא קבוצה בולעת.

הגדרה באמצעות נורמות למחצה

מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית הוא מרחב וקטורי $V$ מעל השדה $\mathbb {K}$ ($\mathbb {K} =\mathbb {R}$ או $\mathbb {K} =\mathbb {C}$) ומשפחה של נורמות-למחצה ${\mathcal {F}}$ המוגדרות על $V$.

הטופולוגיה של $V$ נפרסת על-ידי הכדורים הפתוחים של הנורמות-למחצה ב-${\mathcal {F}}$. ניתן להוכיח כי טופולוגיה זו מקיימת רציפות להזזות ולכפל בסקלר כנדרש, וכן כל הנורמות-למחצה ב-${\mathcal {F}}$ רציפות לפי טופולוגיה זו.

שקילות ההגדרות

ניתן להוכיח כי שתי ההגדרות שקולות.

בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי $V$ בעל טופולוגיה ${\mathcal {T}}$ ובסיס קמור לחלוטין ${\mathcal {B}}$, לכל $B\in {\mathcal {B}}$ מגדירים את פונקציונל מינקובסקי שלה $\rho _{B}$. מכיוון ש-$B$ קמורה לחלוטין ובולעת, $\rho _{B}$ הוא נורמה למחצה. מגדירים ${\mathcal {F}}:=\{\rho _{B}\}_{B\in {\mathcal {B}}}$ ומקבלים כי $V$ הוא מרחב קמור מקומית לפי נורמות-למחצה.

מן הצד השני, בהינתן מרחב וקטורי $V$ עם משפחה ${\mathcal {F}}$ של נורמות למחצה, עבור כל $\rho \in {\mathcal {F}}$ ולכל $r>0$, הכדור הפתוח $B_{\rho ,r}(0)$ שמרכזו בראשית ורדיוסו $r$ הוא קבוצה קמורה לחלוטין. אם כן, הקבוצה ${\mathcal {B}}:=\{B_{\rho ,r}(0)\mid r>0,\rho \in {\mathcal {F}}\}$ היא בסיס מקומי לטופולוגיה הנפרשת על-ידי הכדורים הפתוחים של ${\mathcal {F}}$, ומקבלים כי $V$ הוא מרחב קמור לפי בסיס מקומי בראשית.

משתי טענות אלו נובע כי ההגדרות שקולות.

הפרדת נקודות

מקורות מסוימים דורשים כי ההגדרה של מרחב וקטורי טופולוגי (לאו דווקא קמור מקומית) לא תכלול את הדרישה שהמרחב יהיה מרחב האוסדורף.

במקרה זה, ניתן להוכיח כי מרחב קמור מקומית הוא האוסדורף אם ורק אם ניתן להפריד נקודות על-ידי הנורמות למחצה שמגדירות אותו. כלומר, לכל $v\in V$ קיים $\rho \in {\mathcal {F}}$ כך ש-$\rho (v)\neq 0$. יתרה מכך, במקרה שבו ${\mathcal {F}}$ סופית, ניתן להוכיח כי המרחב נורמבילי. את הנורמה של המרחב מגדירים על-ידי:

${\bar {\rho }}(v):=\sum _{\rho \in {\mathcal {F}}}{\rho (v)}$

נורמביליות

כאמור, כל מרחב נורמי הוא מרחב קמור מקומית אך לא כל מרחב קמור מקומית הוא מרחב נורמבילי (כלומר, כזה שניתן לבנות עבורו נורמה המתיישבת עם הטופולוגיה של המרחב). שאלה מרכזית בהקשר זה היא מה הם התנאים המינמליים הנדרשים ממרחב וקטורי טופולוגי כדי להוכיח שהמרחב נורמבילי. ניתן להוכיח כי מרחב הוא נורמבילי אם ורק אם המרחב קמור מקומית וחסום מקומית (כלומר, קיימת סביבה חסומה של הראשית).

העתקות ליניאריות רציפות

בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי $X$ כלשהו (לאו דווקא קמור מקומית) ומרחב קמור מקומית $Y$, העתקה ליניארית $T:X\to Y$ היא רציפה אם ורק אם לכל נורמה-למחצה רציפה $q$ המוגדרת על $Y$ קיימת נורמה-למחצה רציפה $p$ על $X$ כך ש-$q\circ T\leq p$

בגלל ש-$\mathbb {R}$ ו-$\mathbb {C}$ הם מרחבים קמורים מקומית ביחס לטופולוגיה המושרית מנורמת הערך המוחלט, מתקבל כי כל פונקציונל ליניארי $f$ (ממשי או מרוכב) ממרחב וקטורי טופולוגי $X$ כלשהו הוא רציף, אם ורק אם קיימת נורמה-למחצה רציפה $p$ על $X$ כך ש-$|f(v)|\leq p(v)$ לכל $v\in X$.

משפט האן-בנך

ערך מורחב – משפט האן-בנך

משפט האן-בנך, בגרסתו למרחבים קמורים מקומית, גורס שבהינתן מרחב קמור מקומית $X$ ותת-מרחב $M\subseteq X$, כל פונקציונל ליניארי רציף המוגדר על $M$ ניתן להרחבה רציפה לכל $X$.

מרחב וקטורי טופולוגי כלשהו $X$ ייקרא בעל תכונת האן-בנך אם לכל פונקציונל רציף על תת-מרחב שלו יש הרחבה רציפה לכל $X$. ניתן להוכיח כי כל מרחב וקטורי טופולוגי מטריזבילי עם תכונת האן-בנך הוא מרחב קמור מקומית.

דוגמאות

• כל תת-מרחב של מרחב קמור מקומית, הוא מרחב קמור מקומית.
• כל מרחב וקטורי $V$ עם הטופולוגיה הטריויאלית הוא מרחב קמור מקומית.
• כל מרחב נורמי הוא מרחב קמור מקומית, ובפרט $\mathbb {R} ^{n}$ ו-$\mathbb {C} ^{n}$.
• מסמנים ב-$V:=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ את המרחב הווקטורי של כל הפונקציות הרציפות מ-$\mathbb {R}$ לעצמו. לכל קבוצה קומפקטית $K\subseteq \mathbb {R}$ מגדירים את הנורמה למחצה $\rho _{K}$ על $V$ כך שלכל $f\in V$ מתקיים ש-$\rho _{K}(f):=\sup _{x\in K}{|f(x)|}$. הטופולוגיה הנפרשת על-ידי נורמות-למחצה אלו נקראת הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה, ו-$V$ הוא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית ביחס לטופולוגיה זו, ואיננו נורמבילי.
• בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי $V$, אותו המרחב עם הטופולוגיה החלשה מהווה מרחב קמור מקומית.

ראו גם

• מרחב וקטורי טופולוגי
• קבוצה קמורה לחלוטין
• משפט האן-בנך
• נורמה-למחצה

קישורים חיצוניים

• מרחב קמור מקומית, באתר MathWorld (באנגלית)