חוג קוואזי-פרובניוס

בתורת החוגים, חוג הוא קוואזי-פרובניוס אם מושגי הפרויקטיביות והאינג'קטיביות של מודולים מעליו מתלכדים. זוהי הכללה חשובה של חוגים שהם חוגים פשוטים-למחצה ארטיניים.

הגדרה

חוג R נקרא אינג'קטיבי לעצמו (self injective) משמאל אם הוא אינג'קטיבי כמודול שמאלי מעל עצמו, כלומר, אם כל הומומורפיזם של מודולים מאידיאל שמאלי L אל R, ניתן להמשכה להומומורפיזם מ-R ל-R. בדומה לזה מגדירים גם התכונה מימין.

חוג הוא קוואזי-פרובניוס אם הוא מקיים את התכונות השקולות הבאות:

• כל מודול ימני פרויקטיבי הוא אינג'קטיבי.
• כל מודול ימני אינג'קטיבי הוא פרויקטיבי.
• כל מודול שמאלי פרויקטיבי הוא אינג'קטיבי.
• כל מודול שמאלי אינג'קטיבי הוא פרויקטיבי.
• החוג אינג'קטיבי לעצמו מימין או משמאל וארטיני מימין או משמאל.
• החוג אינג'קטיבי לעצמו מימין או משמאל ונתרי מימין או משמאל.
• החוג אינג'קטיבי לעצמו מימין או משמאל ומקיים את תנאי השרשרת העולה על מאפסים ימניים או שמאליים.

בשלוש ההגדרות האחרונות בחירת הצדדים ימין ושמאל יוצרת ארבעה וריאנטים, שכל אחד מהם גורר את כולם.

מאפסים

לכל חוג R, אם L אידיאל שמאלי אז המאפס הימני $\operatorname {ann} _{r}(L)=\{x:Lx=0\}$ הוא אידיאל ימני, ואם L אידיאל ימני אז המאפס השמאלי $\operatorname {ann} _{\ell }(L)=\{x:xL=0\}$ הוא אידיאל שמאלי. שתי ההעתקות הופכות את סדר ההכלה. באופן כללי, $L\subseteq \operatorname {ann} _{\ell }\operatorname {ann} _{r}(L)$ לכל אידיאל שמאלי L, ו-$L\subseteq \operatorname {ann} _{r}\operatorname {ann} _{\ell }(L)$ לכל אידיאל ימני L.

גם התכונות הבאות שקולות:

• החוג R הוא קוואזי-פרובניוס,
• R נתרי מימין או משמאל, וההעתקות $\operatorname {ann} _{\ell }$ ו-$\operatorname {ann} _{r}$ הפוכות זו לזו.

תכונות קרובות

כל חוג פרובניוס הוא קוואזי-פרובניוס. חוג קוואזי-פרובניוס R הוא חוג פרובניוס אם התשתית (socle) של R איזומורפית, כמודול, למנה R/J כאשר J הוא רדיקל ג'ייקובסון. חוג קוואזי-פרובניוס קומוטטיבי הוא תמיד פרובניוס. חוג קומוטטיבי הוא חוג פרובניוס אם ורק אם הוא סכום ישר של מספר סופי של חוגים מקומיים ארטיניים עם אידיאל שמאלי מינימלי יחיד.

קישורים חיצוניים

• חוג קוואזי-פרובניוס, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)