היפוציקלואיד

אסטרואיד (היפוציקלואיד בעל 4 חודים, באדום) הנוצר מסיבוב מעגל ברדיוס r=1 (בשחור) בתוך מעגל ברדיוס R=4 (בכחול)

בגאומטריה, היפוציקלואיד הוא עקומה מישורית הנוצרת על ידי מסלול של נקודה קבועה על מעגל קטן, אשר מתגלגל (ללא החלקה) לאורכו של מעגל גדול יותר, מן הצד הפנימי שלו. ההיפוציקלואיד שונה מעקומת הציקלואידה, הנוצרת מהתגלגלות מעגל לאורך קו ישר.

ניתוח מתמטי

נסמן את רדיוס המעגל הקטן ב- $r$, ואת רדיוס המעגל הגדול ב- $R=kr$. המשוואות הפרמטריות של העקומה הן:

$x(\theta )=r(k-1)\left(\cos \theta +{\frac {\cos((k-1)\theta )}{k-1}}\right)$

$y(\theta )=r(k-1)\left(\sin \theta -{\frac {\sin((k-1)\theta )}{k-1}}\right)$

אם k הוא מספר שלם, אזי העקומה היא עקומה סגורה בעלת k חודים (נקודות שבהן העקומה אינה גזירה). כאשר k=2, העקומה המתקבלת היא קו ישר, וזוג מעגלים ביחס שכזה נקראים "מעגלי קרדאנו", על שמו של ג'ירולמו קרדאנו. קרדאנו היה הראשון להגדיר היפוציקלואידים מסוג זה, שהיוו בעבר מרכיב מרכזי בטכנולוגיית מכונות הדפוס.

אם k הוא מספר רציונלי, נניח k = p/q (בהצגה מצומצמת), אזי העקומה היא עקומה סגורה שאיננה עקומה פשוטה (דהיינו - היא חותכת את עצמה), בעלת p חודים.

אם k הוא מספר אי רציונלי, אזי העקומה לעולם לא נסגרת. העקומה תמלא את שטחה של טבעת ברדיוס חיצוני R וברדיוס פנימי R-r, סביב מרכז המעגל הגדול.

היפוציקלואיד בעל k=3 נקרא דלתואידה, והיפוציקלואיד בעל k=4 נקרא אסטרואידה (באנגלית: Astroid, בניגוד לאיות Asteroid המייצג גוף שמימי).

היפוציקלואיד הוא מקרה פרטי של עקומת היפוטרוקואיד.

• היפוציקלואידים לדוגמה
• 
  k=3 - דלטואיד
• 
  k=4 - אסטרואיד
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2.1
• 
  k=3.8
• 
  k=5.5
• 
  k=7.2

היפוציקלואיד בתרבות

• צעצוע ה"ספירוגרף" מתבסס על עקרון ההיפוציקלואיד על מנת לצייר צורות דומות.
• הלוגו של קבוצת הפוטבול האמריקאית "פיטסבורג סטילרס" כולל שלושה אסטרואידים (היפוציקלואידים בעלי 4 חודים).
• במרכז הדגל של העיר פורטלנד, אורגון, מופיע אסטרואיד.

לקריאה נוספת

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications, 168,171-173

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא היפוציקלואיד בוויקישיתוף

• יישומון ליצירת היפוציקלואידים
• היפוציקלואיד, באתר MathWorld (באנגלית)