הבעיה השתים-עשרה של הילברט

"אני מעריך שהתגברתי היום על המכשול האחרון בדרך להשלמת החקירה הנמרצת שערכתי בחודשים האחרונים. היא נוגעת לחלום־נעוריי היקר ביותר: הוכחה שמשוואות אבליות עם שורשים ריבועיים של מספרים רציונליים ממוצות על ידי משוואות ההעתקה של פונקציות אליפטיות עם מודולי סינגולרי, בדיוק באותו אופן שמשוואות אבליות רציונליות שלמות על ידי משוואות ציקלוטומיות." —מתוך מכתבו של לאופולד קרונקר לריכרד דדקינד מה־15 במרץ, 1880, בו הוא מתאר (בניסוח ארכאי) את מה שיקרא לימים משפט קרונקר-ובר. משפט זה, אותו הבעיה השתים-עשרה שואפת להכליל, כונה בעקבות המכתב חלום־נעוריו של קרונקר (Kronecker's Jugendtraum).

הבעיה השתים-עשרה מבין עשרים ושלוש הבעיות שהציג דויד הילברט בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים של שנת 1900 עוסקת באפשרות הרחבת משפט קרונקר-ובר, הדן בהרחבות אבליות של המספרים הרציונליים, לכל שדה מספרים. בעוד משפט קרונקר-ובר המקורי מוכיח שכל הרחבה אבלית סופית של $\mathbb {Q}$ מוכלת בשדה ציקלוטומי — הבעיה השתים-עשרה מחפשת אנלוג לשורשי היחידה המרוכבים ושואלת, בהינתן שדה מספרים, מהם המספרים האלגבריים הנדרשים ליצירת כל ההרחבות האבליות.

נכון ל־2023, המקרה הכללי של הבעיה השתים-עשרה עדיין לא ידוע. לעומת זאת, הכללות מסוימות כן ידועות:

• המקרה של שדה ריבועי מדומה (שדה מהצורה $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ כאשר $d<0$ חופשי מריבועים) נפתר באמצעות התאמה של פונקציות מודולריות ועקומים אליפטיים. גורו שימורה הכליל זאת לכל שדה CM .
• המקרה של שדה מספרים ממשי לחלוטין הוכח על ידי Dasgupta ו־Kakde ב־2021. פתרון למקרה פרטי של שדות ריבועיים ממשיים לחלוטין ניתן באותה שנה על ידי הנרי דרמון, Pozzi ו־Vonk. שתי ההוכחות האלו מתבססות על שיטות באנליזה p־אדית.

ניסוח הבעיה

בהינתן שדה מספרים $\mathbb {K}$, יש למצוא פונקציה אנליטית שערכיה במספרים אלגבריים מתאימים מייצרים את כל ההרחבות האבליות של $\mathbb {K}$.

מבוא

הסוגייה המרכזית בתורת המספרים האלגברית היא תיאור שדות מספרים, שהם הרחבת שדות של $\mathbb {Q}$ מדרגה סופית. עוד באמצע המאה ה־19 בזכות עבודתו של אווריסט גלואה, הובן שישנה התאמה בין הרחבות שדות לבין חבורות הקרויות חבורות גלואה.

המקרים הפשוטים ביותר הם כאשר החבורה היא אבלית. כל הרחבה ריבועית, הנוצרת מהוספת שורשים של משוואה ריבועית לשדה, היא הרחבה אבלית. סוג נוסף של הרחבות אבליות של $\mathbb {Q}$, שדה המספרים הרציונליים, הוא שדה ציקלוטומי הנוצר כאשר מוסיפים את שורשי היחידה מסדר $n$. גאוס הוכיח שכל שדה ריבועי מוכל בשדה ציקלוטומי גדול יותר. משפט קרונקר-ובר טוען שכל הרחבה אבלית של $\mathbb {Q}$ מוכלת בשדה ציקלוטומי. ממשפט קרונקר-ובר נובע שהפונקציה האנליטית $e^{\pi ix}$, שערכיה במספרים הרציונליים הם כל שורשי היחידה, היא הפונקציה שעונה על השאלה.

לאחר הוכחת משפט קרונקר-ובר, השאלה שהעסיקה את קרונקר ואת הילברט הייתה הכללה של המשפט לשדה מספרים $\mathbb {K}$ (כלומר, הרחבת שדות סופית של $\mathbb {Q}$): מהם המספרים האלגברים הדרושים לבניית כל ההרחבות האבליות של $\mathbb {K}$, ומיהי הפונקציה האנליטית המתאימה שתספק אותם?

הצגה בקונגרס המתמטיקאים ונסיונות פתרון ראשונים

העמוד הראשון מתוך שלושה בתיאור הבעיה השתים-עשרה במאמר שהילברט פרסם לאחר הקונגרס הבינלאומי למתמטיקאים.

בדומה לבעיות נוספות מתוך העשרים ושלוש, הבעיה השתים-עשרה לא הוצגה בקונגרס עצמו, אלא פורסמה בדפוס לאחר הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים של שנת 1900. הילברט טען שהמקרה הקל ביותר להכללה הוא המקרה של שדות ריבועיים מדומים, והציע להשתמש בתורה של מכפלה מרוכבת שהוצגה על ידי ובר ובתורת שדות המחלקה של הילברט עצמו. לאחר הצגת המקרה הפשוט ביותר, הילברט המשיך וביקש להגיע להכללה מלאה:

”הרחבה של משפט קרונקר כך שבמקום המספרים הרציונלים או הרחבה ריבועית מדומה, נתבסס על כל שדה אלגברי שהוא, היא בעיניי בעלת חשיבות עליונה. אני מתייחס לבעיה זו כאל אחת העמוקות ומרחיקות הלכת ביותר בתורת המספרים והפונקציות.”

הניסוח המקורי של הילברט לבעיה מאותו פרסום העלה קשיים, שכן הוא הניח, כנראה בהתבסס על כתביהם של ובר וקרונקר, שבהינתן שדה מספרים $\mathbb {K}$, מספיקים שורשי היחידה וערכי הפונקציה האנליטית $j(\tau )$, קבוע j של עקומים אליפטיים , שהיא הפונקציה המרומורפית $j\colon \left\{\tau \in \mathbb {C} \;\mid \;\mathrm {Im} (\tau )>0\right\}\cup \{\infty \}\to \mathbb {C}$ שניתנת לכתיבה כטור לורן, כאשר $q=e^{2\pi i\tau }$:

$j(q)={\frac {1}{q}}+744q+196884q+21493760q^{2}+\dots$

אך הנחה זו של הילברט אינה נכונה. ההרחבה האבלית $\mathbb {Q} \left(i,{\sqrt[{4}]{1+2i}}\right)/\mathbb {Q} (i)$ אינה נוצרת על ידי שורשי היחידה והערכים המתקבלים מהפונקציה הזו בלבד. את הדוגמה הנגדית הזו העלה תלמידו של הילברט, פויטר, ובהמשך ישיר לדוגמה הנגדית הזו הוא העלה השערה ("Hauptsatz") בנוגע למהי הגישה הנכונה לשאלה זו. ב־1920 טקגי, אף הוא מתלמידיו של הילברט, הוכיח לראשונה את המשפט בנוסח של פויטר והראה שכל הרחבה אבלית של $\mathbb {Q} (i)$ נוצרת על ידי פונקציית ויירשטראס אליפטית תואמת $\wp$ של העקום האליפטי $y^{2}=x^{3}-x$ . ב־1927 הלמוט הסה פרסם הוכחה משלו להשערתו של פויטר. הסה, שהיה עורך "כל כתביו" של קרונקר לאחר מותו, העיר שהניסוח המקורי של קרונקר במכתבו לדדקינד, "משוואות ההעתקה של פונקציות אליפטיות עם מודולי סינגולרי", הוא רב־משמעי ולא מדויק, וככל הנראה הוביל לטעות בניסוח אצל הילברט.

לקריאה נוספת

• Langlands, R. P. (1976). "Some contemporary problems with origins in the Jugendtraum". In Browder, Felix E. (ed.). Mathematical developments arising from Hilbert problems (PDF). Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 28. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 401–418. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0345.14006.
• Schappacher, Norbert (1998). "On the history of Hilbert's twelfth problem: a comedy of errors". Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XX^e siècle (Nice, 1996). Sémin. Congr. Vol. 3. Paris: Société Mathématique de France. pp. 243–273. ISBN 978-2-85629-065-1. MR 1640262. Zbl 1044.01530.
• Vlǎduţ, S. G. (1991). Kronecker's Jugendtraum and modular functions. Studies in the Development of Modern Mathematics. Vol. 2. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-754-7. Zbl 0731.11001.