בעיית סוסלין
במתמטיקה, בעיית סוסלין היא שאלה לגבי קבוצות סדורות קווית שהועלתה על ידי מיכאיל יעקובלביץ סוסלין (1920)[1] ופורסמה לאחר מותו, עקב מותו המפתיע בגיל 25. הבעיה התגלתה כבלתי תלויה במערכת האקסיומות של צרמלו - פרנקל, שהיא מערכת האקסיומות הסטנדרטית עבור תורת הקבוצות האקסיומטית.
ניסוח הבעיה[עריכת קוד מקור | עריכה]
אם קבוצה סדורה קווית לא ריקה R מקיימת את ארבעת המאפיינים הבאים:
- R אינה מכילה איבר מקסימלי או איבר מינימלי;
- הסדר ב R הוא צפוף (בין כל 2 איברים, יש איבר נוסף);
- הסדר על R הוא שלם: לכל קבוצה חסומה לא ריקה של איברים מ R קיימים סופרמום ואינפימום;
- עוצמתה של קבוצה של קטעים פתוחים זרים ב-R היא לכל היותר אָלֶף אֶפֶס.
האם הסדר ב R בהכרח איזומורפי לסדר בישר הממשי R?
אם הדרישה הרביעית מוחלפת בדרישה ש R מכילה קבוצה צפופה בת מנייה (כלומר, R היא ספרבילית) אז התשובה לשאלה היא אכן כן: הסדר בכל קבוצה R כזו בהכרח איזומורפי לסדר בישר הממשי (הוכח על ידי קנטור, שהראה גם שהרציונליים הם הקבוצה הסדורה היחידה שהיא בת-מניה, צפופה, ונטולת מינימום ומקסימום).
הדרישה הרביעית ברשימה למעלה ידועה כתכונת סוסלין.
השלכות[עריכת קוד מקור | עריכה]
כל קבוצה סדורה קווית שאיננה איזומורפית לישר הממשי R אבל מקיימת את (1) – (4) ידועה כישר סוסלין. השערת סוסלין אומרת שאין ישרי סוסלין: כל סדר קווי צפוף, חסר נקודות קצה ושלם שמקיים את תכונת סוסלין הוא איזומורפי לסדר בR. טענה שקולה היא שלכל עץ מגובה ω1 קיים ענף מאורך ω1 או אנטי-שרשרת מעצמה אלף אפס.
בעיית סוסלין הוכחה כבלתי תלויה במערכת האקסיומות של צרמלו - פרנקל.
הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]
- ^ זוהי שנת הפרסום של המאמר. סוסלין עצמו מת ב-1919.