אלומה קוואזי-קוהרנטית

במתמטיקה, במיוחד בגאומטריה אלגברית, אלומה קוואזי-קוהרנטית על מרחב מחויג $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ היא אלומת ${\mathcal {O}}_{X}$-מודולים בעלת הצגה מקומית על-ידי יוצרים ויחסים. למושג זה יש הגדרה הרבה יותר מוחשית במקרה חשוב של סכמות. אלומות קוואזי-קוהרנטיות מעל סכמה מהוות קטגוריה אבלית.

הגדרה הסטנדרטית

יהי $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ מרחב מחויג ותהי $F$ אלומה של ${\mathcal {O}}_{X}$-מודולים. האלומה $F$ נקראת קוואזי-קוהרנטית אם לכל $x\in X$ קיימת סביבה פתוחה $U\ni x$ יחד עם סדרה מדויקת של ${\mathcal {O}}_{U}$-מודולים

$${\mathcal {O}}^{I}\to {\mathcal {O}}^{J}\to F|_{U}\to 0,$$

כאשר $I,J$ קבוצות, לא בהכרח סופיות.

מורפיזמים של אלומות קוואזי-קוהרנטיות הם פשוט מורפיזמים של אלומות של ${\mathcal {O}}_{X}$-מודולים. במקרה של מרחב מחויג כללי הקטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות לא בהכרח אבלית, לכן השימוש במושג אלומות קוואזי-קוהרנטיות בכלליות רחבה זאת אינו נפוץ. לעומת זאת, עבור סכמות, מושג זה מהווה כלי חשוב בגאומטריה אלגברית.

אלומות קוואזי-קוהרנטיות על סכמות

סכמות אפיניות

תהי $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ סכמה אפינית. זה אומר כי $X=Spec(A)$ כאשר $A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ חוג החתכים הגלובליים. כל $A$-מודול $M$ מגדיר אלומת ${\mathcal {O}}_{X}$-מודולים ${\tilde {M}}$ כך שלמשל ${\mathcal {O}}_{X}={\tilde {A}}$. האלומה ${\tilde {M}}$ קוואזי-קוהרנטית והתאמה זאת מגדירה שקילות בין קטגורית $A$-מודולים לבין קטגורית האלומות הקוואזי-קוהרנטיות על $X=Spec(A)$.

סכמות כלליות

תהי $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ סכמה כללית. כיוון שתכונה להיות אלומה קוואזי-קוהרנטית נבדקת באופן מקומי, אנחנו מסיקים כי אלומת ${\mathcal {O}}_{X}$-מודולים $F$ קוואזי-קוהרנטית אם ורק אם לכל תת-קבוצב פתוחה אפינית $U\subset X$ הצמצום $F|_{U}$ הוא איזומורפי ל-${\tilde {M}}$ כאשר $M=\Gamma (U,F)$.

תכונות של קטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות

• קטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות היא קטגוריה אבלית בעלת מספיק אובייקטים אינייקטיביים
• מכפלה טנזורית של אלומות קוואזי-קוהרנטיות היא קוואזי-קוהרנטית.
• עם $F$ אלומה קוהרנטית ואם $G$ אלומה קוואזי-קוהרנטית, אז האלומה${\mathcal {H}}om(F,G)$ גם היא קוואזי-קוהרנטית.

לקריאה נוספת

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.