תת-מודול קטן

בתורת החוגים, תת-מודול קטן של מודול $M$ מעל חוג $R$, הוא תת-מודול $S$ כך שלכל תת-מודול אמיתי $N$, גם הסכום $N+S$ אמיתי. במילים אחרות, לא ייתכן ש-$N+S=M$ אלא אם $N=M$. תת-מודול האפס הוא תמיד קטן, אבל הטרמינולוגיה עשויה להטעות: אם יש למודול תת-מודול המכיל כל תת-מודול אמיתי אחר, אז הוא קטן.

תכונות

אוסף התת-מודולים הקטנים של מודול $M$ סגור תחת "כלפי מטה" (כלומר, תת-מודול של תת-מודול קטן הוא קטן בעצמו), וגם תחת סכומים סופיים. אם $S$ תת-מודול קטן של $M$, אז הוא תת-מודול קטן של כל מודול המכיל את $M$. הכיוון ההפוך נכון באופן חלקי מאד: אם $S$ מוכל במודול $M$ והוא קטן בסכום ישר $M\oplus M'$, אז הוא קטן גם ב-$M$. קטנות נשמרת תחת מנה בתת-מודול קטן, כלומר: אם $K$ תת-מודול קטן של $M$ המוכל בתת-מודול $E$, אז $E$ קטן ב-$M$ אם ורק אם המנה $E/K$ קטנה ב-$M/K$.

התכונה של תת-מודול להיות קטן ניתנת לאפיון פנימי: $S$ הוא תת-מודול קטן של מודול כלשהו, אם ורק אם הוא תת-מודול קטן בסגור האינג'קטיבי של עצמו.

סכום תת-המודולים הקטנים של $R$, כמודול מעל עצמו, הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג. הרדיקל עצמו הוא תת-מודול קטן, ולפי הלמה של נקאימה $J(R)M$ הוא תת-מודול קטן של $M$ לכל מודול נוצר סופית $M$.

ראו גם

• תת-מודול גדול (נקרא גם תת-מודול עיקרי)