שיחת פורטל:מתמטיקה/חידה/39
הוספת נושאנסיון לפתרון: נסמן ב- f את הפונקציה השולחת כל נקודה בכדור הארץ לנקודה שמתחתיה. וב- g את הפונקציה שמתאימה לכל נקודה את הטמפרטורה שלה. מעטפת כדור הארץ היא קבוצה סגורה ושתי הפונקציות האלו רציפות בה. ולכן גם פונקציית ההרכבה gof וגם הפונקציה gof - g רציפות בה. הנחה: הפונקציה gof - f לא חיובית בכל מקום ולא שלילית בכל מקום. (ברור שהנחה זו מתקיימת כיוון ש- f(f(a)) = a)
עם הנחה זו נבחר נקודה a שבה g(f(a))-g(a) <=0 ונקודה b בה g(f(b))-g(b) >= 0 בה"כ נניח a<=b. לפי משפט ערך הביניים, קיימת נקודה a<c<b כך ש- g(f(a))-g(a) = 0 ז"א הטמפרטורה של נקודה מסויימת שווה לטמפרטורה של נקודה מקבילה לה כנדרש.
הפתרון נכון ניתן אפילו לומר כי לכל מסלול סגור על פני כדור הארץ הדרישה מתקיימת על בסיס אותו משפט
עוד נסיון[עריכת קוד מקור]
נרכיב מעגל גדול (כלשהו) המקיץ את כדוה"א ועובר בנק' הרצויה. אם פונ' הטמפ' משתנה באופן רציף, אז כדי לא לעבור באותו הערך שהתחלנו בו, על הפונ' לגדול/לקטון באופן מונוטוני (היא איננה יכולה לשנות כיוון, שכן היא תחזור לאותו הערך שהיתה בו רגע לפני שינוי הכיוון). אך אם כך, כאשר נחזור לנ' ההתחלה, תהייה אי-רציפות בנק' שלנו, שכן ערכה יהייה קטן/גדול (בהתאמה) מהערך שלידה. הגענו לסתירה, ולכן תהייה חייבת להגיע לאותו הערך.
אפשר, במילים אחרות, לפי משפט הערך-הממוצע של לגראנג'. אם נשרטט גרף קרטזי של המעגל הזה (נהפוך את המעגל לציר ה-X, כאשר ה0 ולבסוף ה 1 הם הנק' שלנו- בתחילת הסיבוב ובסופו), כאשר ציר הY הוא הטמפ', הפונ' תהייה בעלת אותו הערך בנ' 0,1. בין שתי הנק' חייבת להיות נק' שבה השיפוע הוא 0 (לפי משפט הערך הממוצע), אך הדבר אינו אפשרי, מפני שתהיינה לפחות שתי נקודות בעלות אותו הערך (לפני ואחרי המקסימום/מינימום של הפונ'). הגענו לסתירה, ולכן חייבות להיות שתי נקודות לפחות בעלות אותו הערך. (רועי)
נסיון נוסף[עריכת קוד מקור]
פתרון מלא של הבעייה אבל הוא לא אלמנטרי נחשוב על הפונקציה (טמפרטורה,לחץ) כפונקציה מ ל אם תנאי השאלה היו מתקיימים היינו מקבלים ש ההעתקה האנטיפודית הייתה הומוטופית לזהות שזה כידוע לא נכון. נדמה לי שקוראים לזה משפט בורסק-אולם.
