שיחת משתמש:גיאומטריה1/טיוטה

הוכחת הגבול

עוזי זה החלק שנתקעתי בו. איך מוכיחים את הגבול $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ ?

$(1+{\frac {x}{n}})^{n}=1+{\frac {nx}{n}}+{\frac {nx}{n}}{\frac {(n-1)x}{n}}{\frac {1}{2!}}\dots$

אבל הגבול $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!}{n^{n}}}$ אינו 1. אני עקפתי את זה על ידי הגדרת הפונקציה כחזקות של e כאשר e בסיס הלוגריתם שהנגזרת שלו היא 1/x את זה אפשר להוכיח על ידי חוקי הלוגריתמים גם בלי לדעת כמה הוא e ואחר כך מוכיחים שהנגזרת של הפונקציה ההפיכה ללוגריתם שווה לעצמה. למעשה ראיתי את השיטה הזו בספר ישן על חדו"א--גיאומטריה1 - שיחה 09:54, 13 בפברואר 2020 (IST)

אולי הפיתרון נעוץ בזה שאפשר להגדיר $n-k=n(1-k/n)$ ואז כש-n שואף לאינסוף, כמעט כל אברי הסדרה שואפים ל-1 ואלה שלא הם אפס.--גיאומטריה1 - שיחה 15:23, 13 בפברואר 2020 (IST)

לגבי השוויון בין הגבול והסכום: בסמסטר האחרון לימדתי קורס ראשון באנליזה. ראה ברשימות הקורס, סעיף 3.4, ובפרט טענה 3.4.4. עוזי ו. - שיחה 20:47, 15 בפברואר 2020 (IST)