שיחה:תורת הקבוצות הנאיבית
הוספת נושאהמסגרת הסגולה: אני בעד להפוך את הגדרת הקבוצה האינסופית לטקסט מודגש ולהפטר מהמסגרת הסגולה (היא לא משו). לא נעים לי לעשות את זה בעצמי :) משתמש:ReWom
התאמה חד-חד ערכית: התאמה חד-חד ערכת לווא דווקא חייבת להיות דו כיוונית.
"ליצרת התאמה חד-חד ערכית בין שתי קבוצות, אנו מתאימים לכל איבר בקבוצה הראשונה, איבר יחיד בקבוצה השנייה ולהיפך".
לא. התאמה זו נקראת "מיפוי". אני מתכוונת שיכולה להיות התאמה חד-חד ערכית חד כיוונית ואז אם f:A->B חח"ע אזי |A|<|B|. אני חושבת שכדאי לשנות שם קצת את הניסוח: א. לשנות את המשפט שהציטטתי ולומר שהתאמה זו נקראת מיפוי (מיפוי = חח"ע + על) ב. להסביר כי מהתאמה חד-חד ערכית חד כיוונית מתקבל |A|<|B|.
הגדרת קבוצה אינסופית: אני חושבת שכדאי לספר על הקבוצה האינסופית בדרך קצת שונה, בעזרת אקסיומת הקבוצה האינסופית כמובן. זה מראה כי קיימת קבוצה כזו. לאחר מכן ניתן להוכיח לפי אקסיומה זו את קיום קבוצת הטבעיים. משתמש:ReWom
אז קדימה! אני פשוט זרקתי איזשהי התחלה עם מה שאני יודע פחות או יותר בנושא (כרגע מאוד מצומצם, אני רק לומד על זה..). המאמר באנגלית מתמקד יותר בלתת רק הגדרות ומשפטים בתורת הקבוצות היסודית (נאיבית) אז ראיתי שיש מקום לשיפור לרקע היסטורי יותר. לגבי אקסיומות בתורת הקבוצות.. אני עוד לא למדתי את זה..). בקיצור, לכי על זה.. --רותם דן
שאלות[עריכת קוד מקור]
האם זה כל מה שיש לתורת הקבוצות הנאיבית להציע? מה עושים סטודנטים בקורס של תורת הקבוצות אם ניתן ללמוד את החומר מקריאת ערך ויקיפדי ברבע שעה?
הערך חסר: התייחסות מסודרת להיסטוריה של תורת הקבוצות הנאיבית, מי התנגד ומי תמך וכו'. כמו כן, האם יש לזה שימושים כשהם חוץ מהגדרה מסודרת של מושגי יסוד במתמטיקה? עדירל - שיחה 23:19, 24 באוגוסט 2010 (IDT)
- מן המושגים הראשונים המוצגים בערך אפשר להתקדם למשל לקורס שלנו על פונקציות ועוצמות, ובמיוחד לכיוונים שנסקרים שם בשעור האחרון. אחר-כך (ובמקביל) אפשר ללמוד אלגברה ואנליזה, שאפשר להגיע בהם רחוק מאד גם בלי להדק את היסודות על-ידי תורת הקבוצות האקסיומטית.
- מן המאמרים הראשונים של קנטור ועד מערכת האקסיומות של צרמלו לא עבר זמן רב, אבל אפשר לכתוב פרק די מעניין על ההגדרות של דדקינד לקבוצה סופית והיחס לאקסיומת הבחירה. השימוש העיקרי הוא דידקטי - קל יותר ללמוד את תורת הקבוצות הנאיבית מאשר מערכת אקסיומות. עוזי ו. - שיחה 00:35, 25 באוגוסט 2010 (IDT)
- לטעמי, הערך לוקה בחסר וביתר. הוא מגדיר היטב מה היא קבוצה ומה הפעולות עליה, דבר שצריך להעביר לקבוצה, הוא דן יפה בהגדרת האינסוף, שצריך לעבור לערך אינסוף וגם מסביר מה היא שקילות במתמטיקה, דבר שצריך להופיע בערך על שקילות שלא קיים. מה שהוא לא מסביר זה את גבולות תורת הקבוצות הנאיבית. אני מבין מדבריך שתורת הקבוצות הנאיבית משמשת היום רק לצרכים דידקטיים כהפשטה של תורת הקבוצות האקסיומטית. יש לכתוב זאת בערך. עדירל - שיחה 07:28, 25 באוגוסט 2010 (IDT)
- אני מסכים. עוזי ו. - שיחה 10:01, 25 באוגוסט 2010 (IDT)
- לטעמי, הערך לוקה בחסר וביתר. הוא מגדיר היטב מה היא קבוצה ומה הפעולות עליה, דבר שצריך להעביר לקבוצה, הוא דן יפה בהגדרת האינסוף, שצריך לעבור לערך אינסוף וגם מסביר מה היא שקילות במתמטיקה, דבר שצריך להופיע בערך על שקילות שלא קיים. מה שהוא לא מסביר זה את גבולות תורת הקבוצות הנאיבית. אני מבין מדבריך שתורת הקבוצות הנאיבית משמשת היום רק לצרכים דידקטיים כהפשטה של תורת הקבוצות האקסיומטית. יש לכתוב זאת בערך. עדירל - שיחה 07:28, 25 באוגוסט 2010 (IDT)
פתיח חדש[עריכת קוד מקור]
אני מציע את הפתיח הבא:
תורת הקבוצות הנאיבית היא צורה נאיבית של תורת הקבוצות המתעלמת מההגדרה של איבר בקבוצה. בגלל הנוחות שבהתעלמות מהגדרת האיבר, נהוג להתחיל את לימוד תורת הקבוצות בלימוד תורת הקבוצות הנאיבית ורק לאחר מכן לעבור לתורת הקבוצות האקסיומטית בה נקבעים כללים ברורים לגבי מה יכול להחשב איבר בקבוצה [1]. תורת הקבוצות הנאיבית מאפשרת הסתכלות אינטואיטיבית על קבוצות, בעוד תורת הקבוצות האקסיומטית בנויה על הוכחות מדוייקות [2].
הראשון להתייחס אל תורת הקבוצות הנאיבית היה ברטראנד ראסל אשר הרחיב את תורת הקבוצות של גיאורג קנטור שהתייחסה לאיברים שניתן למנות, לתורה המתייחסת לכל איבר מופשט שהוא. בהתאם להגדרתו המורחבת של האיבר, הראה ברטראנד ראסל פרדוקסים הנובעים מתורת הקבוצות ועל כן היא כונתה "תורת הקבוצות הנאיבית" [3].
אמשיך לעבוד עליו בהמשך. עדירל - שיחה 14:21, 25 באוגוסט 2010 (IDT)
- תורת הקבוצות הנאיבית אינה "צורה נאיבית" של תורת הקבוצות, והיא לא "מתעלמת מההגדרה של איבר בקבוצה". שם עצרתי. עוזי ו. - שיחה 14:42, 25 באוגוסט 2010 (IDT)
אני מציע:
תורת הקבוצות הנאיבית היא תחום במתמטיקה שפותח על ידי גאורג קנטור בסוף המאה ה-19. התורה עוסקת במושג הקבוצה כאוסף איברים והיא מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגים כגון "פונקציה", "יחס" ו"אינסוף". עד תחילת המאה ה-20 התבסס מעמדה של התורה כבסיס טוב לביסוס לוגי של המתמטיקה כולה, ותחומי מתמטיקה אחרים נוסחו מחדש במושגים של תורת הקבוצות.
בתחילת המאה ה-20 החלו להתגלות פרדוקסים שנבעו מהיותה של התורה מתירנית מידי ועל בסיסה פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית שבה יושבו סתירות אלו. למרות זאת תורת הקבוצות הנאיבית עודנה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה ומרבית רעיונותיה נכונים גם בגרסה האקסיומטית.
דניאל ב. 15:03, 25 באוגוסט 2010 (IDT)
- עוזי, האחריות לכתיבת ערכים במתמטיקה היא על המתמטיקאים ולא עלי. אולם כאשר ערך נמצא במצב כפי שהוא כרגע, וביודעי את החוסר בכח אדם, ניסיתי את כוחי בתיקונו. אם אתה רוצה לעזור, תוכל להעיר הערות בונות, או לתקן את הערך בעצמך. הערות שליליות שאינן אומרות דבר חוץ מ"לא נכון" אינן מועילות כאן.
- דניאל ב., דבריך אינם תואמים את המקורות שהבאתי ולמצער יש להסביר למה. בנוסף, יש הכרח להגדיר את היחס בין תורת הקבוצות, תורת הקבוצות הנאיבית ותורת הקבוצות האקסיומטית. עדירל - שיחה 15:32, 25 באוגוסט 2010 (IDT)
- הראשון להציג את המושג: "תורת הקבוצות הנאיבית" היה ברטראנד ראסל אשר הרחיב את תורת הקבוצות של גיאורג קנטור שהתייחסה לקבוצות של איברים הניתנים למנייה, ולהרחבה זאת נתן את הכינוי "תורת הקבוצות הנאיבית". בתורה מורחבת זו, הראה ברטראנד ראסל פרדוקסים אשר הביאו בהמשך לפיתוח תורת הקבוצות האקסיומטית [4].
- מעניין אם זה נכון, מכיוון שנהוג לייחס את תורת הקבוצות הנאיבית לקנטור. להערותיכם אודה במטרה להרחיב ולתקן את הערך. עדירל - שיחה 14:51, 26 באוגוסט 2010 (IDT)
- זה ממש לא נכון, ראה האלכסון של קנטור, קבוצה בת מנייה. דוד שי - שיחה 18:31, 26 באוגוסט 2010 (IDT)
- אין חולק על כך שקנטור הוא הממציא של "תורת הקבוצות". השאלה היא האם הוא השתמש במושג "תורת הקבוצות הנאיבית" והאם בהגדרותיו הוא של תורת הקבוצות יש או אין פרדוקסים. עדירל - שיחה 18:33, 26 באוגוסט 2010 (IDT)
- אתה צודק בהערתך הקודמת, אבל אין לי פנאי כרגע לכתוב את הערך הזה. הגישה של קנטור היתה חדשנית לזמנו, אבל בדיעבד התברר שהיא נאיבית, והיא עלולה להוביל לפרדוקסים - הוא בוודאי לא קרא לפיתוחים של עצמו בשם הזה. עוזי ו. - שיחה 19:02, 26 באוגוסט 2010 (IDT)
- מה עם הטענה של הספר שהבאתי שאצל קנטור לא היו פרדוקסים בגלל שהוא הגביל את עצמו לאיברים הניתנים למנייה? נכון או לא נכון? עדירל - שיחה 19:23, 26 באוגוסט 2010 (IDT)
- לא נכון. כפי שדוד שי ציין, ראה האלכסון של קנטור המדבר במפורש על קבוצות שאינן בנות מנייה. דניאל ב. 12:01, 27 באוגוסט 2010 (IDT)
- איברים הניתנים למנייה, לא קבוצות הניתנות למנייה. ואם כבר מדברים על האלכסון של קנטור אז הערך הזה בלתי קריא בעליל. כדאי להשתמש בערך האנגלי כדי לשפרו. עדירל - שיחה 13:08, 27 באוגוסט 2010 (IDT)
- אני לא מכיר מושג כזה איבר ניתן למנייה. אשמח אם תפרט. דניאל ב. 13:27, 27 באוגוסט 2010 (IDT)
- ואגב, אשמח אם תכתוב הערות בדף השיחה של האלכסון של קנטור. אין לי בעיה לשפרו אבל אני צריך להבין מה לא מובן. דניאל ב. 13:28, 27 באוגוסט 2010 (IDT)
- אני לא מכיר מושג כזה איבר ניתן למנייה. אשמח אם תפרט. דניאל ב. 13:27, 27 באוגוסט 2010 (IDT)
- איברים הניתנים למנייה, לא קבוצות הניתנות למנייה. ואם כבר מדברים על האלכסון של קנטור אז הערך הזה בלתי קריא בעליל. כדאי להשתמש בערך האנגלי כדי לשפרו. עדירל - שיחה 13:08, 27 באוגוסט 2010 (IDT)
- לא נכון. כפי שדוד שי ציין, ראה האלכסון של קנטור המדבר במפורש על קבוצות שאינן בנות מנייה. דניאל ב. 12:01, 27 באוגוסט 2010 (IDT)
- מה עם הטענה של הספר שהבאתי שאצל קנטור לא היו פרדוקסים בגלל שהוא הגביל את עצמו לאיברים הניתנים למנייה? נכון או לא נכון? עדירל - שיחה 19:23, 26 באוגוסט 2010 (IDT)
- אתה צודק בהערתך הקודמת, אבל אין לי פנאי כרגע לכתוב את הערך הזה. הגישה של קנטור היתה חדשנית לזמנו, אבל בדיעבד התברר שהיא נאיבית, והיא עלולה להוביל לפרדוקסים - הוא בוודאי לא קרא לפיתוחים של עצמו בשם הזה. עוזי ו. - שיחה 19:02, 26 באוגוסט 2010 (IDT)
- אין חולק על כך שקנטור הוא הממציא של "תורת הקבוצות". השאלה היא האם הוא השתמש במושג "תורת הקבוצות הנאיבית" והאם בהגדרותיו הוא של תורת הקבוצות יש או אין פרדוקסים. עדירל - שיחה 18:33, 26 באוגוסט 2010 (IDT)
- זה ממש לא נכון, ראה האלכסון של קנטור, קבוצה בת מנייה. דוד שי - שיחה 18:31, 26 באוגוסט 2010 (IDT)
- מעניין אם זה נכון, מכיוון שנהוג לייחס את תורת הקבוצות הנאיבית לקנטור. להערותיכם אודה במטרה להרחיב ולתקן את הערך. עדירל - שיחה 14:51, 26 באוגוסט 2010 (IDT)
הערות שוליים[עריכת קוד מקור]
- ^ Paolo Aluffi, Algebra, Part 0, AMS Bookstore, 2009, page 1
- ^ Winfried Just, Martin Weese, Discovering Modern Set Theory: The basics, page 6
- ^ Shaughan Lavine, Understanding the infinite, Harvard University Press, 1994, page 3
- ^ Shaughan Lavine, Understanding the infinite, Harvard University Press, 1994, page 3
מה הערך בערך?[עריכת קוד מקור]
אני לא מבין מה יש בערך הזה שאין בערך תורת הקבוצות. הלל • שיחה • כ"ג באלול ה'תש"ע • 22:57, 1 בספטמבר 2010 (IDT)
- ראה התוכנית של דוד שי בשיחה:תורת הקבוצות. הערך הזה אמור לעסוק בהיסטוריה ובבעיות של תורת הקבוצות בראשיתה, בעוד תורת הקבוצות אמור לעסוק בתורה המתמטית עצמה. דניאל ב. 23:01, 1 בספטמבר 2010 (IDT)
טעות?[עריכת קוד מקור]
בערך כתוב שהתורה החלה בשני מאמרים בשנות ה-90 המאוחרות של המאה ה-19. ככל הידוע לי רוב התוצאות של קנטור הן משנות השבעים. דניאל ב. 09:12, 14 באוקטובר 2010 (IST)
- קנטור פרסם סדרה של מאמרים על תורת הקבוצות, החל ב-1870 וכלה בשני מאמרי סיכום מזוככים ב-1895 וב-1897. העבודות המוקדמות היו למעשה בתורת הפונקציות, וטיפלו בקבוצות של נקודות אי-רציפות של פונקציה ממשית. עוזי ו. - שיחה 10:30, 14 באוקטובר 2010 (IST)
- אז המשפט כרגע בערך "את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור, בשני מאמרים שפרסם ב-1895 וב-1897" אינו מדויק. אולי כדאי "את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור בשנות השבעים של המאה ה-19, ואת צורתה המודרנית היא קיבלה בשני מאמרים שפרסם ב-1895 וב-1897" זה ניסוח די צולע אז אם אתה יכול לחשוב על ניסוח מוצלח יותר הבמה שלך. דניאל ב. 11:45, 14 באוקטובר 2010 (IST)