שיחה:פרדוקס המעטפות

פתרון

אתמול 24.6.2006 הצעתי פתרון משלי לפרדוקס, אך עקבותיו נעלמו. כנראה שלחצתי על כפתור לא נכון כלשהו.

הפתרון המוצע במאמר אינו עונה לשאלה הבאה:

נניח שאני משנה במקצת את תנאי השאלה:
המארגן רושם סכום אקראי X על מעטפה א.
לאחר מכן הוא מטיל מטבע, ולפי התוצאה הוא מחליט לרשום במעטפה ב את הסכום X/2, או את הסכום 2X.
אפשר גם להניח שאני לא רשאי להציץ לתוך המעטפה, ועלי להחליט מראש: להחליף או לא ?

אם כן, יחס המכפלה בין המעטפות הוא אקראי לחלוטין (הטלת מטבע!).

עכשיו מסתבר שהפתרון המוצע לא עובד.
הפתרון המוצע גם מוזר ובלתי קביל. יש שם הכרזה "היתרון שברווח הגדול יותר מתאזן בכך ש'בדרך כלל' הסיכויים להפסיד גדולים מן הסיכויים להרוויח". הכרזה חסרת נימוק.
הלא לפי תנאי הטלת המטבע שהכרזתי עליו, הסיכו להפסיד הוא בדיוק 50% !! לכן פתרון הפרדוקס שהוצע נראה לי כבלתי תקף.

פתרוני:
אני טוען בפשטות כי יש כאן הנחה סמויה שגויה. הדילמה השגויה היא:
50% סיכוי שבידי X ובמעטפה השניה 2X
50% סיכוי שבידי X ובמעטפה השניה X/2

הדילמה הנכונה היא:
50% סיכוי שבידי X ובמעטפה השניה 2X. סוף שורה.
50% סיכוי שבידי Y ובמעטפה השניה Y/2. סוף שורה.
הסכומים X Y שונים! אין כאן "מטבע אחיד".

הפתרון המלא והנכון:

25% סיכוי שביידי מעטפה א עם סכום X. במעטפה ב יש סכום 2X. סוף שורה.
25% סיכוי שביידי מעטפה א עם סכום X. במעטפה ב יש סכום X/2. סוף שורה.
25% סיכוי שביידי מעטפה ב עם סכום X/2. במעטפה א יש סכום X . אל נשכח שבמעטפה א "יושב" תמיד הסכום ה"מקורי" X. סוף שורה.
25% סיכוי שביידי מעטפה ב עם סכום 2X. במעטפה א יש סכום X. סוף שורה.
עכשיו אין פרדוקס.

זה הפתרון המלא והנכון! יש כאן "מכנה משותף" מוסכם: במעטפה א תמיד יש סכום X. סוף שורה

fedida@runbox.com

ראשית, הסיכוי להרוויח, בהינתן הסכום שנמצא במעטפה שלך, אינו בהכרח 50% (זכור שיש כאן הסתברות מותנית). למשל, אם היינו יודעים שהסכומים נעים בין 1 ל-10, והייתי פותח את המעטפה שלי ורואה 1, היה ברור לי שהסיכוי שלי להרוויח אם אחליף הוא 100%. אם הייתה התפלגות אחידה על כל הסכומים האפשריים הבעיה הייתה נעלמת, אלא שבניסוח הנוכחי של הפרדוקס זה אינו המצב.

שנית, בהצגה שלטענתך היא ה"נכונה" לא ברור מדוע ה"מטבע אחיד" הזה בעייתי. בפרט, זכור ש-X הוא המספר היחיד שאותו מכיר פותח המעטפה, ושממנו הוא מקיש לא רק על השאלה האם יש לו את המעטפה עם הסכום הגדול או הקטן יותר (שאלה שבה אין לו סיכוי להכריע וההסתברות בה היא 50%) אלא גם בשאלה מהם סכומי הכסף המעורבים בבעיה. גדי אלכסנדרוביץ' 18:28, 25 יוני 2006 (IDT)

תשובתי: 1. כיצד אתה מסביר את הפרדוקס כשאני לא רשאי להציץ לתוך המעטפה? לשיטתי, אין בעיה ! לשיטתך - כנראה שיש. 2. אז מה? נכון שהסכום היחידי שאני מכיר הוא הסכום שבמעטפה (במקרה שאני רשאי להציץ). מי אמר שאני חייב לקבוע שהוא הנעלם במשוואותי? דווקא הסכום היחיד שידוע לי? הסכום שצריך להתחיל ממנו הוא הסכום שבמעטפה א, שאינו ידוע. זאת לא המצאה שלי, אני פשוט נצמד לנתונים.

בברכה

העריכה שלך מאתמול נקלטה, ולא היתה שום בעיה טכנית. היא שוחזרה משום שניגשת לערך קיים ומושקע, ומחקת ממנו חלק חשוב בלי שום נסיון להסביר את מעשיך בדף השיחה או בתקציר העריכה.

לענין עצמו: אתה טועה בפתרון שלך. למרות שמדובר בפרדוקס-לכאורה והתוצאה עלולה לבלבל, אי אפשר לחשב הסתברויות בדרך שאתה מציע. למלה "סיכוי" אין משמעות (מתמטית) ללא מרחב מדגם, ומרחב המדגם תלוי בנתונים. אם טרם פתחת את המעטפה, ההסתברויות להרוויח ולהפסיד שוות. אם כבר פתחת את המעטפה, Y ידוע, ושום מאמץ לא יעזור לשכוח אותו. כל חישובי ההסתברות מאותו רגע הם בהנתן Y. העובדה שהמארגן בוחר X ואז מחליט (בסיכוי 50%) לחלק אותו ב- 2 היא לחלוטין לא רלוונטית, למעט טשטוש העובדה שהחישובים חייבים להתבצע בהנתן Y ולא בהנתן X (שאינו ידוע). עוזי ו. 22:27, 25 יוני 2006 (IDT)

לעוזי:

לא התכוונתי שעליך לשכוח את המספר (זה מטופש), אלא שלא ראית אותו מעולם. כלומר: המעטפה בידיך, אינך רשאי להציץ פנימה. לפי שיטתך הפרדוקס קיים. לשיטתי אין פרדוקס.

אתה אומר: "אם טרם פתחת את המעטפה, ההסתברויות להרוויח ולהפסיד שוות". זה נכון. או שאתה מפסיד חצי X או שאתה מרוויח X שלם (לשיטתך). התוחלות לא שוות. נא הסבר מדוע לא אבחר במעטפה השניה. דרך אגב, הפכת את המילה "סיכוי" למילה הסתברות? הלא אמרת כי המונח "סיכוי" הוא בלתי מוגדר??.

אתה טוען שהמושג "סיכוי" לא מוגדר. אתה נתלה בקטנות. אין בעיה לנסח את השאלה אחרת ללא המילה "סיכוי". או להכנס לפרוט נוסף. הטענה נראית לי לא רלוונטית.

אני מודע היטב לכך שיש בעיתיות של בחירת מספר אקראי מתוך האינסוף. זה אינו בהכרח קשור לבעיה. הפרדוקס קיים (לשיטתך, לא לשיטתי) עם הבעיה הזו ובלעדיה. כלומר - זה כלל אינו רלוונטי לפתרון !!

אתה עומד על כך ש "בהנתן X" (בהנחה שאתה רואה את תוכן המעטפה). זה בסדר שיש לך נתון שאתה רוצה לכנותו X (אני מעדיף לכנותו a בגלל שזה הכתיב המקובל לגודל שערכו ידוע). הוא לא חייב להיות נושא הנוסחה! נושא הנוסחה הוא X המסתתר במעטפה א! ואז אתה מגיע לניתוח שהצגתי.

ניתוח זה נטול סתירות.

לידיעתך, נתקלתי בעבר בבעיה הזו, ו"פתרתי" אותה בערך כמו שאתה "פתרת". לאחר מעשה הגעתי למסקנה שהפתרון אינו רלוונטי. הוא פשוט פותר בעיה אחרת. (יש לי עדיין את מסמך הוורד מאותה תקופה). אז הגעתי לפתרון שהצגתי.

בברכה, חיים

כמו ויכוחים דומים רבים על "פתרונות" לפרדוקסים, הבעיה שבשורש הויכוח הזה נעוצה בכך שאתה מסרב לקבל את ההגדרה שמובילה לפרדוקס ו"פותר" את הפרדוקס על ידי התעלמות ממנה. זה אולי (אולי!) נכון, אבל לא עוזר לאלו שלא מקבלים את ההגדרה שלך וכן נתקלים ב"פרדוקס". לכן הדיון הזה, כמו הרווח שבהחלפת מעטפה, הוא חסר תוחלת. גדי אלכסנדרוביץ' 12:47, 28 יוני 2006 (IDT)

1. כדאי לייצב את הטרמינולוגיה: במעטפות שמים X ו- 2X, והערך במעטפה שקיבלנו הוא Y (ששווה, כמובן, לאחד מהם). בפרט, הניתוח לאחר פתיחת המעטפה הוא "בהנתן Y" (או - "בהנתן ש- Y=y") ולא "בהנתן X".

2. ההבדל בין "סיכוי" ו"הסתברות" הוא מתודי בלבד. למלה הראשונה יש משמעויות נוספות, בעברית לא מתמטית.

3. בניסוחו השגור, הפרדוקס מבוסס על הטענה האינטואיטיבית שכביכול, מכיוון שלא נקבעה ההתפלגות של X במפורש, הסיכויים לעבור מ- Y ל- 2Y ול- Y/2 הם שווים. לא חשוב מהי ההתפלגות של X, הטענה הזו לעולם אינה נכונה.

4. יש שני מצבים שאפשר לשקול: החלטה לפני שהמעטפה הנבחרת נפתחה, והחלטה אחרי שהיא נפתחה.

4.א. אם המעטפה נפתחה, אפשר (עקרונית) להשוות את הערך שכתוב בה להתפלגות; לפעמים כדאי יהיה להחליף, ולפעמים לא. אין כאן שום פרדוקס.

4.ב. אם המעטפה טרם נפתחה (והתוחלת של X - ולכן של Y - סופית), אפשר לחשב במדוקדק את תוחלת הרווח בשתי האיסטרטגיות, ולהגיע למסקנה הבלתי נמנעת שזה לא משנה אם נחליף את המעטפות או לא.

4.ג. אם המעטפה טרם נפתחה (והתוחלת של X אינסופית), כדאי לכאורה להחליף אותה - זה נקרא פרדוקס סנט-פטרסבורג ואני מעדיף שלא לדון בו כאן (בוודאי שלא לפני שהעניין הפשוט יותר הוסבר כראוי).

5. הניתוח שלך, שבו מופיעות הסתברויות לא נכונות (50% וכדומה), שגוי בתכלית. עוזי ו. 13:07, 28 יוני 2006 (IDT)

סליחה רגע

יש פתרון אחר, והוא ברור כל כך עד שאני מתפלא על כל המידיינים.
השאלה מכילה בקרבה את התשובה: כיון שאני כביכול צריך להחליף כל הזמן, אז בעצם אין לי שום סיבה להחליף. ההחלפה לא משפרת את הסיכויים שלי בכלל. תחשבו על זה, א/נשים. יהושע.

הפרדוקס הוא שלכאורה יש נימוק חד-משמעי בזכות החלטה א', אבל גם נימוק חד-משמעי בזכות החלטה ב' (ההפוכה לה). אינך יכול לפתור פרדוקס כזה בכך בנימוק התומך בהחלטה א'. עוזי ו. - שיחה 17:12, 30 בנובמבר 2010 (IST)

אין שום נימוק בעד החלפה, בגלל שעדיין נישאר באותו מצב. לשון אחר: אתה מחליט להציב את "Y" במעטפה שבידך ולההתלבט בין 2Y ו1/2Y במעטפה השניה, אבל יכלת באותה מידה להציב את "Y" במעטפה השניה ולהתלבט בין 2Y ו1/2Y במעטפה שבידך. אין לך שום מושג איפה להציב את Y, ולכן הסיכויים הם חמישים-חמישים. אגב, אתה חושב שהפיתרון שכתוב בערך הוא הפיתרון הנכון?

אופס. עכשיו ראיתי שאתה פרופסור למתימטיקה. צריך אם כן להוסיף נימת שאלה לכל הודעתי הקודמת וכשכוש כנוע בזנב. אבל עדיין לכשעצמי מה שכתבתי נראה לי ברור ביותר.

אדרבא, אתה מסביר היטב את הפרדוקס: אם קוראים לסכום במעטפה שבידי Y, כדאי לכאורה להחליף כי כך נקבל בתמורה, בתוחלת, 1.25Y. לעומת זאת אם קוראים לסכום במעטפה השניה X, יתברר שלא כדאי להחליף כי הסכום שבידינו הוא (לכאורה, בתוחלת) 1.25X. הפתרון הוא, כפי שכתוב בערך, שאי-אפשר לחשב את תוחלת הרווחה מההחלפה בלי שיש התפלגות א-פריורי לערכים המעורבים. עוזי ו. - שיחה 00:58, 3 בדצמבר 2010 (IST)

לא מובן

האם יש מי שיכול להסביר במילים פשוטות, במה שונה הדילמה המתוארת בערך, מכל דילמה אחרת מהסוג הזה, בה לא יודעים מראש את העתיד להתגלות בהמשך, כמו גירוד כרטיס אחד מתוך שניים, שבאחד מהם נמצא פרס, או למשל שני מעטפות המוגשות לך באחד מהם יש סכום כסף, ובשני אין, ועליך להחליט מה לקבל, העיקרון זהה בכולם, אתה לא יודע מה יש בפנים, ולכן אתה יכול רק לנסות ואולי לנחש ולהרויח ואולי לא, מוזר שדווקא דילמה זו קיבלה ערך, ועוד בשם פרדוקס. טיפוסי - שו"ת 13:39, 11 במרץ 2011 (IST)

הפתיח לערך מבהיר היטב שאין כאן דילמה פשוטה, אלא דילמה פרדוקסלית, שבה המסקנה היא שתמיד כדאי לבחור את המעטפה האחרת. דוד שי - שיחה 14:21, 11 במרץ 2011 (IST)

לא מובן כלל, מדוע המסקנה היא שתמיד כדאי להחליף, יותר מתמיד כדאי להשאיר, ובמה זה שונה מכל דילמה דומה אחרת, והנה עוד דוגמה, איזה יד אתה רוצה, ובאחד מהם יש שטר כסף, ושוב, אני מבקש במילים פשוטות. טיפוסי - שו"ת 14:26, 11 במרץ 2011 (IST)

ההבדל הוא שבהגרלה פשוטה, ברגע שחשפת את סכום הכסף שהציעו לך, אין יותר מקום להתלבטות. כאן מציעים לך בשלב הזה לחזור בך ולעבור למעטפה השניה, וחישוב נאיבי מראה ש*תמיד* כדאי לעבור למעטפה השניה. עוזי ו. - שיחה 14:57, 11 במרץ 2011 (IST)

איך אפשר לראות בזה הבדל, אני רואה בזה, שתי דילמות נפרדות ששתיהן בלתי פתורות, האחת לפני פתיחת המעטפה, והשנייה מיד לאחריה, אבל כל אחת מהן, הינה דילמה ככל הדילמות. טיפוסי - שו"ת 15:00, 11 במרץ 2011 (IST)

זה הבדל מהותי: כשמציעים לך שתי ידיים שבאחת מהן שטר כסף, אין סיבה להעדיף אף אפשרות. כאן (לכאורה, לפי החישוב הנאיבי) תמיד יש סיבה להעדיף את היד השניה. עוזי ו. - שיחה 15:03, 11 במרץ 2011 (IST)

מציעים לך שתי מעטפות שבאחת יש פי שניים מהשנייה. אתה בוחר אחת ומוצא בה שקל. אתה מסיק שבשנייה יש או חצי שקל או שני שקלים בסיכוי של חצי חצי. אם תחליף מעטפה אתה או מפסיד חצי שקל (עברת משקל לחצי שקל), או מרוויח שקל (עברת משקל לשני שקלים), כלומר שווה לך להחליף, כי הסיכוי להרוויח שקל גובר על הסיכוי להפסיד רק חצי שקל. מאותם שיקולים בדיוק שווה לך להחליף חזרה למעטפה המקורית - פרדוקס. הפתרון נעוץ בעובדה שלא טיפלנו בהסתברות בצורה עדינה מספיק. לא באמת יש פה סיכוי של חצי חצי. דניאל ב. 18:11, 12 במרץ 2011 (IST)

צר לי לומר לכם, שההסברים עד כה לא עזרו להבנת הפרדוקס - במה הוא שונה מכל דילמה מסוג זה, בנוסף לא מובן מדוע עם פתיחת המעטפה, חל שינוי במצב הדילמה שהיתה לפני פתיחתה, דניאל, זה ממש לא נכון שהסיכוי להרוויח שקל גובר על הסיכוי להפסיד חצי שקל, הסיכוי הוא בדיוק 50/50, והסכום לא משנה את הסיכוי, מה שמשנה זה אך ורק חוסר הידיעה, שאינה ניתנת לחיזוי מראש, ולכן לא מתקבל על הדעת הקביעה שעדיף לך להחליף כי אולי תרויח שקל, שכן יש סיכוי שווה שהמעטפה שבידך היא זו המכילה את הסכום הכפול. טיפוסי - שו"ת 13:19, 13 במרץ 2011 (IST)

אני ממליץ שתקרא את הערך תוחלת. אם לא תבין - לא נורא, ים הידע רחב, ולכל אחד מאתנו יש קטעים הנשגבים מבינתו. דוד שי - שיחה 08:10, 14 במרץ 2011 (IST)

טיפוסי, בוודאי שזה משנה מה הסכום גם אם הסיכוי הוא חצי חצי. כך דוגמה קיצונית. אם במעטפה האחרת יש או חצי שקל או מיליון שקל והסיכוי הוא חצי חצי, האין זה ברור שיש להחליף? דניאל ב. 08:21, 14 במרץ 2011 (IST)

ניסיתי להבהיר את הערך. תודיע לי אם זה יותר מובן עכשיו. עדירל - שיחה 10:31, 14 במרץ 2011 (IST)

דניאל, אם במעטפה אחת יש חצי שקל, ובמעטפה שניה יש מיליון שקל, טעות לקבוע שכדי להחליף, שכן יש סיכוי שווה שבמעטפה שבידי נמצא המיליון, לפיכך אין שום סיבה להחליף יותר מאשר לא להחליף, אותו הדין במה שמכונה "פרדוקס המעטפות" שעד כה לא הצליח אף אחד להסביר במילים פשוטות את הפרדוקס לבקשתי, כולל דוד שי, וזה מפליא מאד. טיפוסי - שו"ת 13:29, 14 במרץ 2011 (IST)

אתה מפספס נקודה. אני אנסה קצת את הגרסה המקורית כדי שתבין. נניח שיש במעטפה אחת פי מיליון מהשנייה. אתה פותח אחת ומגלה בה שקל. כלומר בשנייה יש או מיליון שקלים או מיליונית השקל, שמבחינה מעשית זה אפס. ברור ששווה לך להחליף. יש לך פה סיכוי של 50% להרוויח מיליון שקל! שווה לוותר על השקל שיש לך עכשיו בשביל סיכוי כזה להרוויח מיליון. דניאל ב. 13:33, 14 במרץ 2011 (IST)

אין ספק שבן אדם סביר היה מחליף במקרה כזה, שכן אז מקסימום הוא הפסיד שקל בודד, מה גם שסיכוי קטן מאד קיים שבעל המעטפות הצליח להכניס שם מיליונית השקל, וזה בהחלט משפיע על הסיכוי וההיתכנות במקרה ספציפי זה, אלא שכאשר מדובר בסכומים אחרים, אין כאן שום פרדוקס, מעבר לאי ידיעה וספק שקול, שלא יועיל המשחק הזה של החלפת המעטפה עד אין סוף, במאום. טיפוסי - שו"ת 13:39, 14 במרץ 2011 (IST)

אנא התעלם מעניין בהסיכוי להכניס מיליונית למעטפה, זה לא מה שההמחשה ניסתה להעביר. הנקודה היא שהשיקול שעשית כרגע אינו שונה בכלום מהשיקול המקביל למקרה של פי שניים. אין הבדל מהותי בין מיליון לשתיים. גם במקרה של הפי שניים, כדאי להחליף כי מקסימום יש הפסד של חצי שקל, בעוד הרווח האפשרי הוא של שקל שלם. דניאל ב. 13:43, 14 במרץ 2011 (IST)

אז בוא ולצורך הנוחות, נשתמש בדוגמה, שפתחת מעטפה ומצאת בה שטר של 100 ש"ח, כך שייתכן ובמעטפה השנייה נמצא 50 ש"ח, וייתכן שנמצא בה 200 ש"ח, אתה טוען שכדאי להחליף, ושוב כדאי להחליף, ושוב כדאי להחליף, ואני טוען שזו קביעה שגויה, מכיוון שבפעם הראשונה לא כדאי לך להחליף יותר משלא כדאי לך להחליף, שכן זה ספק שקול לחלוטין, ואין כאן פרדוקס אלא דילמה הנובעת מחוסר ידיעה, האם דבריי מובנים? טיפוסי - שו"ת 13:49, 14 במרץ 2011 (IST)

דבריך מובנים. הבעיה היא שאתה מתעלם מצד שלם של הפרדוקס. הרי המשמעות של המילה פרדוקס היא שיש פה שני עניינים נכוים אך סותרים. ההיגיון שלך הוא צד אחד, והוא נכון לחלוטין. באמת לכאורה אין סיבה להחליף, כי לכאורה יש סימטריה מלאה בין המעטפות ולכל אחת יש סיכוי זהה להיות הגבוהה מבינהן. לכן אין שום סיבה להחליף. ואז בה ההגיון ההפוך. אתה יודע שבמעטפה שלך יש 100. אם תחליף אז או שתפסיד 50 (כי עברת ממאה לחמישים) או שתרוויח 100 (עברת מ-100 ל-200). כמו בדוגמת המיליון, גם פה ברור כי צריך להחליף. הרבה יותר כדאי להסתכן בהפסד שקל בכדי להמר על רווח של מיליון. באותה מידה יותר כדאי להסתכן בהפסד של 50 אם אתה מהמר על רווח של 100. לדוגמה אם אתה עושה את ההימור הזה הרבה מאוד פעמים ברצף, אז תרוויח בממוצע 25 ש"ח. למה זה דומה? אם תזרוק קובייה 10 פעמים, תחבר את התוצאות ותחלק במספר הזריקות - 10. תקבל מספר קרוב מאוד ל-3.5. לעניין הזה קוראים תוחלת. כאשר התוחלת חיובית (ואצלנו היא חיובית, היא 25), תמיד שווה להמר. כך גם מהמרים מקצועיים פועלים. על כן בניגוד להיגיון הקודם, ההיגיון הזה מוביל אותנו למסקנה שצריך להחליף. דניאל ב. 13:58, 14 במרץ 2011 (IST)

לא ברור על סמך מה קבעת, שברור שכדאי לסכן 50 כדי להמר על 100. כמו כן כבר החלטנו שהדוגמה הקיצונית של שקל מול מיליון מטעה, שכן אז השיקול הוא אחר לחלוטין. בנוסף, אם אני עושה את ההימור הזה עם המעטפות עשר פעמים למשל, ההסתברות היא שבממוצע בחמש פעמים ארוויח את הסכום הגבוה ובחמש את הסכום הנמוך, וזה כך גם אם לא אחליף את המעטפה, אלא אשלוף ואפתח. בנוסף, כאן שישנן רק שתי אפשרויות, ההיגיון להחליף בפעם השנייה היא שווה ערך לרעיון להישאר עם המעטפה בפעם הראשונה, שכן מדובר באותה מעטפה, ומכאן שזה כשל לוגי לחשוב שכדאי כל הזמן להחליף מבחינה הסתברותית, וכבר הסכמנו שהסכום לא מעלה את הסיכוי העומד על 50/50 גם אם מדובר בשקל מול מיליון. לאור האמור נשארנו עם ההיגיון הראשון הפשוט והמובן לכולם, שאין סיבה אמיתית להחליף את המעטפה יותר מאשר לא להחליף אותה, אלא אם כן פועלים מתחושות הבטן, ומנסים לנחש לפי האינטואיציה, ע"כ בינתיים. בברכה. טיפוסי - שו"ת 15:05, 15 במרץ 2011 (IST)

בוא נעזוב את המעטפות רגע, יש לך 50 שקל ביד, אומרים לך, תן את ה-50 שקלים, ותשתתף בהגרלה בה תקבל 100 שקל בהסתברות של 99% או 25 שקלים בהסתברות של אחוז אחד, רוב האנשים יעדיפו להיכנס להגרלה. למה? המתמטיקאים יגידו לך שזה בגלל שבממוצע (אם תשתתף בהגרלה מספר פעמים) תצא מההגרלה עם 99.25 שקלים (100*0.99 + 25*0.01) כלומר רווח של 49.25 שקלים בממוצע לכל השתתפות בהגרלה. עכשיו, אם נניח שכעת יש לך 50 שקלים ביד ואומרים לך שיש הגרלה עם 50% ל-100 שקלים ו50% ל25 שקלים, הממוצע עכשיו הוא 62.5 שקלים (0.5*100 + 0.5*25), מכאן, שמדובר בהגרלה כדאית, כלומר כזאת שאם תשתתף בה מספר רב של פעמים תצא ברווח. עכשיו אתה מחזיק בידך מעטפה, ואומרים לך שבמעטפה השנייה יש 2X שקלים או חצי X שקלים מכאן שאם תחליף מעטפה (תשתתף בהגרלה לפי המשל), תזכה בממוצע ב1.25X שקלים (2X*0.5+0.5*0.5X) מכאן שכדאי לך להחליף מעטפות. (הציבור מוזמן להחליף את המספרים ללטך) בברכה, --62.219.154.151 18:01, 15 במרץ 2011 (IST)

אני מצטער טיפוסי, ניסיתי להסביר בצורה הכי טובה שאני יכול, אבל לפי תגובתך האחרונה אני מבין כי נכשלתי. נסה לחשוב טוב טוב על דוגמת המיליון ותראה שהיא אינה שונה בכלל מדוגמת השתיים. ואם קשה לך, מותר לך לחשוב על דוגמת המיליון. היא נכונה באותה מידה וגם בה מתקיים הפרדוקס. אם עדין לא הבנת, לא נורא. יש דברים יותר חשובים בחיים. דניאל ב. 21:48, 15 במרץ 2011 (IST)

אלמוני תודה על ההסבר, אלא שהגרלה שבו 99% ארוויח 100 הוא לשם המחשה, קופסה שיש בתוכו 100 פתקים כשבתשעים ותשע מהם, כתוב "זכית במאה" ובאחד מהם כתוב "זכית בעשרים וחמש" ואז ברור שהאדם הסביר ירצה להיכנס להגרלה שכן הסיכויים להרוויח הוא אכן 99%, ובעצמך אמרת שזה לא המקרה כאן, שהסיכויים להרויח הן 50/50 (פיפטי פיפטי) בדיוק, וגם אם אשתתף הרבה פעמים התוחלת הממוצעת משאירה בידי אותו סכום שהיה לי בהתחלה, ולכן בהגרלה בודדת הסיכוי להרויח לא עולה על הסיכוי להפסיד, דניאל, אחזור על מה שאמרתי וסברתי שהסכמת, כשבן אדם סביר מוצא שקל במעטפה הוא מוכן להפסיד אותו תמורת הסיכוי של 50 % להרויח מיליון שקל, לעומת זאת לי ברור שאילו מצאתי במעטפה צ'ק על מיליון שקל, לא הייתי מחליף את המעטפה כדי למצוא אולי צ'ק על סך טריליון (או איך שקוראים לזה), שכן הייתי חושש למצוא שם צ'ק על סך שקל, ולגנוז את התכניות, ולסיום, יש כלל שאומר "חסר הסברה - חסר הבנה" אולי יש מישהו נוסף שמוכן להסביר, ואם לא, זה לא תורה מסיני, אפשר לבטל את הערך. טיפוסי - שו"ת 11:46, 16 במרץ 2011 (IST)

טיפוסי, אני הייתי האלמוני, לא קראת את ההסבר עד הסוף. יש בידך 50 שקלים, אומרים לך, ישנה הגרלה שהכניסה אליה עולה 50 שקלים, בהגרלה יש 50% שתצא עם 100 שקלים, ו50% שתצא עם-25 שקלים בלבד, כעת מה תעשה? אם תשתתף בהגרלה תזכה בממוצע ב62.5 שקלים (כלומר רווח של 12.5 שקלים, לפרטי החישוב ראה הודעה למעלה), כלומר, אם בידך 50000 שקל, ותקנה 1000 כרטיסי הגרלה צפוי שתסיים את ההגרלה עם כ-62500 שקלים. ולכן כדאי לך להיכנס להגרלה. עכשיו ברור? יכול להיות שאתה באופן אישי שונא סיכון ולכן לא תיכנס להגרלה, אבל מבחינה מתמטית כדאי לך להיכנס אליה. בברכה, --איש המרק - שיחה 13:25, 16 במרץ 2011 (IST)

הרי הוכחתי לך שהתפלגות הסיכויים שנקטת לעיל (99 אחוז מול 1)שגויה, אם כן התוכל להסביר, למה רווח של 12.5 ש"ח, ולא הפסד של 12.5 ש"ח? הרי הסיכוי לרווח ולהפסד שווה באותו מידה. אגב, מובן מאליו, ששונאי סיכון יעדיפו להישאר עם מה שיש להם בוודאות ביד, ואוהבי סיכון יעדיפו להמר. טיפוסי - שו"ת 22:37, 16 במרץ 2011 (IST)

הקטע טיפוסי, הוא שעד עכשיו כל פעם שאמרת "הוכחתי" למעשה טעית. אני ממליץ לך לפתוח ספר לימוד וללמוד את יסודות תורת ההסתברות. לא כולם נולדים עם אינטואיציה הסתברותית נכונה (למעשה אינטואציה כזו יכולה מאוד לבלבל. ראה: פרדוקס יום ההולדת ובעיית מונטי הול), אבל זה בהחלט משהו שניתן לרכוש. דניאל ב. 23:06, 16 במרץ 2011 (IST)

הקטע דניאל, שבמקום להתייחס אל הטעויות שהצבעתי עליהן במהלך הדיון, אתה מפנה אותי ללכת לרכוש ידע חדש, כתנאי הכרחי לצורך הבנת ערך אנציקלופדי, אפשר לראות בזה גם כשל לוגי מהסוג פנייה אל הסמכות, כמו כן סביר להניח שאילו הייתי מקשה על בעיית מונטי הול, היית מפנה אותי לערך פרדוקס המעטפות וחוזר חלילה, אבל לעולם אין לדעת, יש הסתברות מועטה שבעתיד ייכתב הערך ניפוץ פרדוקס המעטפות, והסיכוי הולך וגדל, ככל שלא יינתנו הבהרות "במילים פשוטות" (כפי שביקשתי בתחילת הדיון), אל מול הקושיות שהעליתי בניתוח פרדוקס מדומה זה. בברכה. טיפוסי - שו"ת 00:10, 17 במרץ 2011 (IST)

ניסיתי כבר להסביר במילים פשוטות ונכשלתי. אנסה פעם אחרונה. נשחק משחק: בכל סיבוב של המשחק אני נותן לך שתי אפשרויות: או לקחת שקל אחד שאותו תקבל בטוח, או שתבחר להמר, ואז נטיל מטבע: אם יצא עץ, תקבל רק חצי שקל, אבל אם פלי תקבל שני שקלים. את המשחק משחקים במשך 100 סיבובים. מה הדרך שכדאי לבחור בה, בהנחה שמטרתך להרוויח כמה שיותר בתום 100 הסיבובים? דניאל ב. 00:33, 17 במרץ 2011 (IST)

תשובה, האפשרויות הבסיסיות העומדות בפני הן: 1. להרויח ללא הגרלה 100 ש"ח. 2. להרויח באמצעות הגרלה לא פחות מ-50 ש"ח. 3. להרויח באמצעות הגרלה לא יותר מ-200 ש"ח. כאשר ההסתברות הממוצעת הינה להרויח באמצעות ההגרלה 100 ש"ח. נראה לי שהייתי בוחר באפשרות הראשונה המשאיר בידי סכום זה ללא הגרלה, אבל אבין גם את אוהבי הסיכון שיבחרו לנסות את מזלם, ואולי להרויח יותר ממאה. בברכה. טיפוסי - שו"ת 01:16, 17 במרץ 2011 (IST)

ואם היית יכול לבחור בין 1000 מעטפות שבכל אחת מהן 100 ש"ח, לבין 1000 מעטפות שבכל אחת מהן (בנפרד) יש 50 או 200 ש"ח, בסיכויים שווים? עוזי ו. - שיחה 02:56, 17 במרץ 2011 (IST)

למה רווח של 12.5 שקל? בבקשה, כדי לפשט את התהליך, בוא נניח שלא מדובר בהגרלה, אלא שמדובר במכונה שפעם אחת זוכים בה (יוצאים עם 100 שקל) ופעם אחת מפסידים בה (יוצאים עם 25 שקלים) וחוזר חלילה (מה ששקול בטווח הארוך להגרלה). אחרי שני סיבובים תחזיק בידך 125 שקלים, אחרי 4 סיבובים, 250 שקל, וכן הלאה. מכיוון שכל סיבוב "עולה" לך 50 שקלים, יוצא שהרווחת בממוצע 12.5 שקל לסיבוב. ולכן זאת הגרלה שמבחינה מתמטית(!) היא כדאית. בנוגע למשחק שהציע דניאל, טעית בחישוב... אחרי 100 סיבובים, תצא מהמשחק, עם 125 שקלים בממוצע ולא עם 100 שקלים בממוצע כפי שכתבת. החישוב הוא כזה, זורקים מטבע, יש לך 50% לקבל 50 אגורות (0.5*0.5), ו50% לקבל 2 שקל (0.5*2), ולכן, בממוצע תקבל 1.25 שקלים (1+0.25). אם החישוב לא ברור נסה לחשוב על הגרלה בה יש לך 50% סיכוי לצאת עם 2 שקלים (0.5*2), ו50% סיכוי לצאת עם 0 שקלים (0.5*0), אחרי 100 סיבובים עם כמה כסף תצא בממוצע ? נראה לי שתסכים שמדבור ב100 שקלים (ואם לא, איזה סכום? ) מכיוון שזאת הגרלה עם תנאים פחות טובים מהראשונה, הרי ברור שלא ייתכן שנצא בממוצע עם אותו סכום משתיהן. בברכה, --איש המרק - שיחה 09:44, 17 במרץ 2011 (IST)

אכן, כפי שאיש המרק ציין טעית בחישוב. אם תחליט להחליף כל פעם תרוויח בערך 125 ש"ח, וממש ממש לא סביר שתרוויח פחות ממאה. לכן כדאי להחליף. אם תשחק 1000 סיבובים כפי שעוזי הציע תרוויח סכום מאוד קרוב ל-1250 ש"ח במקום 1000 ש"ח שהיית מרוויח אם לא היית מהמר. גם אם משחקים סיבוב אחד בלבד, כפי שאכן עושים בפרדוקס המעטפות, בממוצע תצא עם 1.25 ש"ח במקום השקל היחיד שיש לך אם לא תחליף, ולכן כדאי להחליף. דניאל ב. 09:56, 17 במרץ 2011 (IST)

הצעות הבהרה

בערך כתוב: "הפרדוקס מנוסח תוך התעלמות מן התהליך המשמש להגרלת הסכום המקורי, X. בפועל, כל "בחירה" מחייבת תהליך של בחירה - התפלגות א-פריורית שממנה הסכום הזה נבחר."

• לא ברור מה עושה כאן המילה "הגרלה". הסכום המקורי X איננו בהכרח מוגרל. הוא נקבע.
• המשפט: "בפועל, כל "בחירה" מחייבת תהליך של בחירה - התפלגות א-פריורית שממנה הסכום הזה נבחר." - אינו ברור, ויתרה מכך הוא מיותר. הבעיה איננה קיומה או אי קיומה של התפלגות, אלא הנחה סמויה על אותה התפלגות.
• הצעתי להבהיר את הבעיה בהתפלגות במשפט: "בניגוד להנחה שהסיכוי של X להיות כל מספר הוא שווה, בפועל ההתפלגות של X אינה שווה, ויש יותר סיכוי ש-X הוא סכום נמוך מאשר שהוא סכום גבוה." - אני מבין שככל הנראה יש פה איזשהו אי דיוק מתמטי, אולם את הרעיון מאחורי המשפט הזה, אולי בניסוח קצת אחר, יש להכניס לערך. הבעיה היא שקיים A כלשהו, עבורו הסיכוי שבמעטפה יש X>A קטן מהסיכוי שיש בה X<A.

הערך ממשיך עם: "מרגע שקיימת התפלגות כזו, גם אם היא אינה ידועה למשתתף, אפשר, עקרונית, לחשב ..."

• את ההשתעשעות המתמטית בשאלה מה אפשר או אי אפשר לעשות כאשר לא מוגדרת כלל התפלגות (ומה בכלל המשמעות של העובדה שלא מוגדרת התפלגות), הבה נשאיר לפרק מתמטי נפרד בו יוכלו המתמטים להשתעשע עם עצמם. עבור שאר קהל הקוראים אפשר לדלג על שלב זה ולהתייחס לעיקר: "את התוחלת יש לחשב על סמך ההתפלגות של X, ולא תוך התעלמות ממנה."

בערך כתוב: "התפלגות כזו, הנקראת התפלגות אחידה, ובה הסיכויים שווים, אינה קיימת בקטע אינסופי כמו כל הישר הממשי. לכן, במעבר על כל האפשרויות, היתרון שברווח הגדול יותר מתאזן בכך שבדרך כלל הסיכויים להפסיד גדולים מן הסיכויים להרוויח."

• אני עדיין חושב שיש צורך להבהיר לא רק שהתפלגות אחידה אינה יכולה להיות אינסופית אלא שבהתפלגות האמיתית קיים A כלשהו מספיק גבוה עבורו לכל a>A הסיכוי של X להיות a קטן מהסיכוי של X להיות a/2.
• כן יש להבהיר: במעבר על כל האפשרויות, היתרון שברווח הגדול יותר עבור חלק מהערכים (לרוב הערכים הנמוכים) מתאזן בכך שבדרך כלל עבור שקיימים ערכים (לרוב ערכי X גבוהים) בהם הסיכויים להפסיד גדולים מן הסיכויים להרוויח ואם אלו הערכים הגבוהים, ההפסד בערכים אלו גדול יותר מהרווח בערכים הנמוכים."

• השימוש ב-a בשני מובנים שונים אינו רעיון טוב. אני מציע להשתמש ב-A לציון הגבול וב a לציון מוספר בתוך התחום.

• את "ואז לא נחליף." כדאי להחליף ב"ואז לא כדאי להחליף את המעטפות".

• יש להוסיף את הפסקה "על כן, כאשר לא פתחנו את המעטפה, ואיננו יודעים את הסכום בתוכה Y, איננו יודעים האם Y<A ואז כדאי לנו להחליף את המעטפות או אם Y>A ואז לא כדאי לנו להחליף את המעטפות. הסכום הכולל של התוחלות עבור שני המקרים Y>A ו Y<A שווה אפס ועל כן אין לנו כל רווח מהחלפת המעטפות." שתבהיר את הפרדוקס. אמנם, כמדומני שיש פה טעות בציון הגבול. אולי זה צריך להיות A/2 או משהו אחר. כשיוחלט להכניס את הפסקה נוודא שכתבנו זאת נכון. עדירל - שיחה 16:29, 14 במרץ 2011 (IST)

1. הסכום X נקבע או מוגרל באופן שאינו ידוע למקבל המעטפות. מבחינתו הסכום מוגרל, ולא נקבע.

2. במקום "בפועל, כל 'בחירה' מחייבת תהליך של בחירה - התפלגות א-פריורית שממנה הסכום הזה נבחר" אפשר לכתוב "בפועל, אין בחירה ללא התפלגות א-פריורית שממנה הסכום הזה נבחר". הבעיה היא אך ורק אי-קיומה של ההתפלגות. החישוב המשווה 2X עם X/2 שגוי *לכל התפלגות*, ואינו תלוי בהנחה סמויה על ההתפלגות הזו. אפשר לומר לכל היותר שההנחה הסמויה היא חזקה כל-כך, עד שאין שום התפלגות המקיימת אותה.

3. ההצעה "בניגוד להנחה שהסיכוי של X להיות כל מספר הוא שווה, בפועל ההתפלגות של X אינה שווה" - נכונה, אבל ההמשך "ויש יותר סיכוי ש-X הוא סכום נמוך מאשר שהוא סכום גבוה" אינו נכון. לא פשוט לדבר על "סכום נמוך" לעומת "סכום גבוה"; למושגים האלה יש מובן רק לאחר שנבחר X, ואז הטענה לא תמיד נכונה.

4. אין זה נכון ש"קיים A כלשהו, עבורו הסיכוי שבמעטפה יש X>A קטן מהסיכוי שיש בה X<A".

5. ה"השתעשעות העקרונית" אינה במה שאפשר לעשות אם אין התפלגות, אלא במה שאפשר לעשות כשיש התפלגות. כבר כאן חשוב להדגיש שאפשר לחשב את התוחלת (המותנית) גם אם ההתפלגות אינה ידועה.

6. "בהתפלגות האמיתית קיים A כלשהו מספיק גבוה עבורו לכל a>A הסיכוי של X להיות a קטן מהסיכוי של X להיות a/2" - זה לא בהכרח נכון.

7. ההבהרה (במעבר על כל האפשרויות וגו') מספיק מעורפלת כדי לא להיות שגויה...

8. החלפתי את ההופעה של a בתפקיד השני ב-s. באותיות גדולות רצוי לסמן משתנים מקריים ולא ערכים קבועים. עוזי ו. - שיחה 18:08, 14 במרץ 2011 (IST)

תודה על הערותיך. עשיתי נסיון נוסף בהתאם להם ואשמח אם תבדקו אותו. תוכלי לראות את הצעתי כאן. שחזרתי אותו כדי שלא יהרוס את הערך בינתיים. עדירל - שיחה 19:40, 14 במרץ 2011 (IST)

לגבי הערותיו של עוזי:

1. הצעתי לכתוב את שני המונחים תוך הסבר שמוגרל הוא המונח המתמטי. הכנסת המושג השלישי "בחירה" אינה מוסיפה לבהירות ועל כן אני מציע להמנע ממנה לגמרי.
2. ניסיתי לתקן בהתאם
3. ניסיתי לתקן בהתאם
4. ניסיתי לתקן בהתאם
5. תנוח דעתך, אף אחד לא חושב שיש צורך לדעת את ההתפלגות שכן אנו האנשים הפשוטים יוצאים מהשאלה ובה ההתפלגות אינה ידועה.
6. את זה כדאי לכתוב, אם כן, בדוגמא. כמו כן, בפרק למתמטיקאים היה נחמד להציע דוגמא בה זה לא נכון. נדמה לי שמתמטיקאים ישתעשעו מזה.
7. השאלה היא האם התוספות שלי, עם כל הבדרך כלל עוזרות לכך שזה יהיה יותר ברור ועדיין משאירות את זה מספיק מעורפל ונכון. מעורפל, לא ברור ונכון לא ממש עוזר.
8. תודה. עדירל - שיחה 19:46, 14 במרץ 2011 (IST)

עברתי על עריכתך והנה הערותי:

1. לא חזרת על הטעויות שהיו קודם אז במישור הזה אנחנו בסדר.
2. אני לא אוהב את השימוש במילה "קביעה" כתחליף ל"הגרלה". קביעה מרמז על התפלגות מנוונת בעוד אין לנו עסק עם התפלגות כזו כלל. צריך לשים לב לנקודה העדינה שההתפלגות תלויה בצופה. ברור שמי שהכניס את הכסף למעטפות 'קבע' את הסכומים, ובשבילו ההתפלגות אכן מנוונת (אם הוא ישחק הוא מן הסתם תמיד יבחר במעטפה הנכונה). לעומת זאת, מבחינת בוחר המעטפות, הסכום מוגרל (מישהו אחר קבע אותו באופן שלא ידוע לנו) ובשבילו ההתפלגות שונה. אם המילה 'מוגרל' מטעה אפשר אולי להשתמש ב'נבחר'.
3. אין טעם לכתוב בשביל המתמטיקאים על התפלגויות בהן לא קיים A שהבחירה במעטפה נעשת על סמך האם הסכום קטן או גדול ממנו. לרוב ההתפלגויות אין A כזה ולמעשה גם באופן מעשי לא סביר שאדם בוחר בהתפלגות כזו (יש סיכוי הרבה יותר גדול שאדם ייבחר מספר טבעי כלשהו מאפשר כל מספר אי רציונלי שקטן ממנו). משתמשים בהתפלגות שכזו כדוגמה בערך רק משום שקל להדגים איתה ולנתח אותה.
4. הפרודקס נעלם גם מבלי שנציג את השאלה עם התפלגות כלשהי. מספיק שאנו יודעים כי קיימת התלפגות וכי היא אינה אחידה.
5. העיין של ייגמר הכסף בעולם לא מעניין אותנו. אנחנו רוצים למצוא פתרון לפרדוקס שתקף גם בעולם שאין בו מגבלת כסף, והפתרון המתמטי מספיק לשם כך.
6. "מצב בו לכל Y כדאי לנו להחליף מעטפות, פשוט אינו קיים." - זה לא קשור לפרדוקס. הפרדוקס אינו שלכל Y כדאי להחליף מעטפה, אלא שקיים Y (ויותר חזק, לכל Y) כך ששווה לנו להחליף את המעטפה אינסוף פעמים.

דניאל ב. 14:16, 15 במרץ 2011 (IST)

התשובות שלך כתובות מנקודת מבט של מתמטיקאי. אבל יש חוץ ממתמטיקאים גם בני אדם אחרים שרוצים להכיר את פרדוקס המעטפות ולהבין אותו.

הלא מתמטיקאי חושב על בן אדם שמכניס כסף למעטפות ואותו בן אדם קובע את הסכום X. אפשר לנסות להשתמש במילה "בוחר".

בדיון שלך על מספרים טבעיים מול ממשיים אתה שוב גולש למתמטיקאית. זה לא מעניין אותנו. מבחינתנו התפלגות שנותנת כל מספר טבעי עד s בתור X וכל מספר זוגי עד 2s בתור 2X בהתפלגות שווה היא דוגמא מצויינת. ומעבר לה הייתי רוצה עוד דוגמא עם טוויסט שמראה שלא תמיד זה גדול מול קטן ולפעמים זה יותר מסובך.

ברור שאם קיימת התפלגות היא לא אחידה. אין התפלגות אחידה אינסופית. ברגע שאתה יודע שיש התפלגות הרי שהשאלה כוללת בתוכה את ההתפלגות. הלשון המתמטית הזאת נותנת לי את הרושם שאני עליזה בארץ הפלאות.

יכול להיות שאתה כמתמטיקאי רוצה פתרון שתקף גם בלי כסף. זו בהחלט זכותך ולא אמנע זאת ממך. אבל למה אתה מונע ממני פתרון שיהיה ברור לבני אדם שאתרע מזלם והם אינם מתמטיקאים?

הנקודה העקרונית פה היא שהמתמטיקאים צריכים להחליט החלטה אסטרטגית לותר על הבעלות שלהם על ערכי המתמטיקה ולאפשר שותפות הוגנת עם העולם הלא מתמטי. איש לא מבקש מכם לוותר על האמת המתמטית אבל בהחלט נדרש מכם לוותר על הגישה המתעלמת מכל מה שאינה מתמטיקה טהורה. אם וכאשר תגיעו להחלטה אסטרטגית זאת, אשמח לסייע לכם. עד אז תהנו עם הערכים שלכם לבד. עדירל - שיחה 14:56, 15 במרץ 2011 (IST)

כל הדיון שלי על מספרים טבעיים הוא בשביל הדוגמה עם טוויסט. הסברתי בקווים כלליים איך יראה מקרה ספיציפי כזה, אבל הנה אכתוב אחד במפורש: ההתפלגות מוגדרת כך שלכל מספר שאינו אי-זוגי הסיכוי להיבחרו הוא 0, ולכל מספר טבעי זוגי n הסיכוי להיבחרו הוא $\ 1/2^{(n+1)/2}$. כלומר, 1 נבחר להיות X בהסתברות חצי, שלוש בהסתברות רבע, חמש בהתסברות שמינית, וכן הלאה. כשתפתח את המעטפה, ברור כי אם תמצא מספר אי-זוגי שווה לך להחליף, ואם תמצא מספר זוגי שווה לך להישאר. לכל A יש אינסוף זוגיים ואי זוגיים גדולים ממנו, ולכן לא קיים A שמעליו לא שווה או שווה להחליף.

לדעת שמשהו קיים זה לא לדעת מהו. נפוץ מאוד במתמטיקה שמוכיחים קיום דבר מה מבלי להצביע על שום דרך לגלות אותו. במקרה הזה ידיעת עובדת קיום ההתפלגות גם ללא שמץ של ידיעה מהי, מספיקה לפתרון הפרדוקס. שים לב שבוחר המעטפות לא יודע לעשות את החישובים ולהחליט אם עדיף לו להחליף או לו, רק אנחנו הצופים החיצוניים יודעים זאת. פתרון ה"נגמר הכסף" הוא פתרון מלאכותי שנטפל לניסוח במקום למהות. באותה מידה ניתן לנסח את הפרדוקס כך שיעסוק במשחק בו מנסים לצבור נקודות שמתוקף חוסר ממשותן אינן מוגבלות. חשיבות הפרדוקס הוא בהצבעה כשל הסתברותי לכאורה, ולכן הפתרון היחידי הרלוונטי הוא פתרון שיפתור עניין זה. מתאים לצטט פה אנרי פואנקרה שאמר (לטענת הערך יחס שקילות) "מתמטיקה היא האמנות של קריאה באותו שם לדברים שונים". ההבחנה שאין חשיבות להבדל בין 5 תפוחים ל-5 תפוזים כשרוצים לחבר וההבנה שאין זה משנה אם אנו מדברים על כסף או נקודות, היא מהותית. והמתמטיקה היא העולם היחיד במסגרתו אנו מסוכלים לטפל בכך. דניאל ב. 15:33, 15 במרץ 2011 (IST)

פרדוקס החלקיקים - נוסח אחר לפרדוקס המעטפות

עשיר מופלג ערירי גר בארמון פאר חלומי. מאחר והאיש החשיב את מדע החלקיקים היסודיים בטבע השאיר אחריו צוואה בזו הלשון: "אדם שיוכיח - בפני ועדת מדענים שתתמנה לצורך כך - את קיומו בטבע של חלקיק קטן מ'תרח' - החלקיק הקטן ביותר הידוע כיום יקבל את זכות המגורים בארמוני. אם וכאשר יוכיח אדם אחר את קיומו של חלקיק קטן עוד יותר תעבור זכות המגורים בארמון אליו, וכן הלאה והלאה. מאחר ואני מבין את הקושי בקביעת גודלם המדוייק של חלקיקים מיקרוסקופיים אני קובע שמספר או טווח סופי של אפשרויות למדת חלקיק יחושבו לעניין צוואה זו כמדה המהווה ממוצע שלהם."

אכן, בחלוף תקופה הופיע בפני הועדה מדען בשם אברהם והוכיח את קיומו של חלקיק - לו קרא בשם יצחק - המהווה אחד ממרכיביו של 'תרח'. כיון שברור היה שיצחק קטן בהרבה מן החלקיק אשר הוא מרכיב בו - קיבל אברהם את זכות המגורים בארמון, למרות שטווח האפשרויות למדתו של יצחק היה אינסופי כלפי מטה - כלומר: לא היתה שום דרך לדעת או אף לקבוע ממוצע כלשהו למדת יצחק ביחס לתרח.

כחלוף תקופה נוספת הופיע מדען אחר - בשם דוד - בפני הועדה והוכיח את קיומו של חלקיק אחר - אותו כינה שלמה - המהווה גם הוא מרכיב בתרח. כאברהם גם לדוד לא היתה שום הוכחה באשר ליחס בין החלקיק שגילה - שלמה - לתרח כלפי מטה, אך הוא הוכיח שהיחס בין יצחק לשלמה הוא אחד על שתיים - כלומר: אחד מהם כפול מן השני במדתו, כאשר לא ידוע מי הגדול ומי הקטן. מאחר ודוד לא הוכיח ששלמה קטן מיצחק נותר הארמון בידי אברהם.

דוד המשיך לשקוד על מחקרו וביום בהיר התייצב בפני הועדה ושטח בפניה את ההוכחה הדרושה לקביעת מדתו של שלמה ביחס לתרח: אחד על 100 טריליארד. ע"מ לקבוע את מדתו הממוצעת של יצחק עשו מדעני הועדה חישוב פשוט שלפיו המדה הממוצעת בין אחד חלקי 200 טריליארד מתרח (חצי משלמה) לאחד חלקי 50 טריליארד מתרח (כפול משלמה) היא אחד חלקי 80 (חמשה חלקי 400) מתרח (פי 1.25 משלמה), מכאן הגיעה הועדה למסקנה שמדתו המוכחת של שלמה קטנה ממדתו הממוצעת של יצחק, והחליטו להעביר את החזקה בארמון לדוד.

כששמע אברהם את החלטת הועדה ונימוקה טען בפניהם: הרי את החישוב שנעשה לגבי המדה הממוצעת של יצחק הייתם עושים בעקבות כל הוכחה שהיה דוד מביא לגבי מדת שלמה ביחס לתרח, לכן אין להוכחה כזו שום ערך.

חברי הועדה, שמומחיותם היתה למדעי הטבע ולא למתמטיקה או לוגיקה, באו במבוכה והם מבקשים בזה את עזרת הציבור בפתרון הדילמה.

ההבדל העקרוני בין הנוסחה הרגילה של הפרדוקס לנוסחה זו הוא שבעוד שכסף הוא דבר סופי מטבעו - כך שניתן לקבוע סכום ממוצע לכל מעטפה ולפיו להחליט לאחר הפתיחה אם ההחלפה כדאית - לא ידוע על סיבתיות המגבילה את טווח האפשרויות למדתו של חלקיק כלפי מטה.

לגבי הפרדוקס בנוסח הזה יתכן שמופיעה תשובה בשורות האחרונות של הערך, אך לא הבנתי את הנכתב שם, ואשמח אם מי מהחברים יואיל לענות לי בעברית פשוטה המובנת לבורים שכמותי, וללא סימונים ומילות קוד מתמטיים. שחר יפציע - שיחה 22:39, 15 במאי 2012 (IDT)

אין שום הבדל בנוסחים. לצרכי פרדוקס המעטפות אין מניחים שכסף מוגבל מטבעו. דניאל • תרמו ערך 13:21, 6 ביוני 2012 (IDT)

ומה - אם כן - התשובה בעברית עממית לפרדוקס בנוסח שלי. שמא יואיל אי מי לכתוב אותה - בערך עצמו או כאן - בניסוח שיובן לאנשים שאינם משכילים אך עם היגיון בריא?.שחר יפציע - שיחה 13:45, 6 ביוני 2012 (IDT)

כפי שכתוב בערך, הפתרון הוא שאי אפשר לבחור באקראי ובאופן אחיד מספר לא חסום, וההנחה שנבחר מספר שכזה שגויה.

תודה על המאמץ, אבל לא הבנתי מה הפירוש של 'לבחור מספר לא חסום באופן אחיד', ואיך זה עונה לפרדוקס החלקיקים

קודם כל ב"פרדוקס החלקיקים" אין שום קושי. אברהם טועה כשהוא טוען שיש סימטריה מלאה בין המידה ממוצעת של יצחק ושלמה, כי גודלו של יצחק ידוע בוודאות ולכן המידה ההמוצעת שלו היא הגודל שלו, ואילו לגבי שלמה מדובר במידה ממוצעת שחושבה מתוך טווח. בהתאם לחוקי המלך, דדו אכן צודק לחלוטין. מה שכן אפשר להתווכח האם חוקי המלך מראש היו הוגנים שכן הם העניקו עדיפות לכאורה למי שאינו עדיף באמת. זהו כבר פרדוקס המעטפות, בניסוח מאוד מסורבל וחסר טעם. עדיף לדבוק בנוסח המקורי. אם מפריע לך עניין סכומי הכס נניח שבכל מעטפה יש רק פתק שעליו כתוב מספר, ועל עניין שכזה כבר אין הגבלות. הפתרון של פרדוקס המעטפות נעוץ בעובדה שההנחה אפשר בכלל לבחור מספר אקראי למעטפה הראשונה בצורה שאם הוא נודע זה לא יסגיר כלום על המצוי במעטפה השנייה היא הנחה שגויה. דניאל • תרמו ערך 15:20, 6 ביוני 2012 (IDT)

אין ספק שאם זאת היתה הטענה של אברהם הרי שהוא טעה. אלא שהטענה היתה אחרת לחלוטין: איך יתכן שהקביעה שמדת יצחק ('בן' אברהם) הממוצעת קטנה ממדת שלמה תבא בעקבות ההוכחה למדת שלמה, בעוד שהיא נכונה לגבי כל מידה אפשרית של שלמה. כאשר האפשרויות אינסופיות אין עדיפות למספר הגבוה על הנמוך (כך שאני לא מבין איך המספר הנודע מסגיר משהו לגבי המספר השני). אם הדיון לא מאתגר אותך איני חפץ להטריח.

התשובה לשאלה של אברהם היא פשוטה: אכן אין בכלל תלות בערך המתקבל לחלקיק שלמה, ואין בכך בעיה כי הדבר היחיד שזה מעיד עליו הוא שהמלך בחר בשיטה לא הוגנת כדי להכריע בסוגיה. דניאל • תרמו ערך 19:54, 6 ביוני 2012 (IDT)

אתה מתכוון לומר שכבר בפעם הראשונה שדוד הופיע בפני הועדה יכלו המדענים להכריע לטובתו? רק בגלל שהוא הגיע שני? (הרי אפשר לעשות שיקול הפוך בדיוק). שחר יפציע - שיחה 21:43, 6 ביוני 2012 (IDT)

לא. לפני שנמדד שלמה אי אפשר היה לקבוע את המידה הממוצעת של אף אחד מהחלקיקים. אחרי שהוא נמדד, וללא תלות בערך שלו, מתקבלת מידה ממוצעת לשני החלקיקים כך ששלמה קטן יותר. אין בעיה בלוגיקה של חברי הוועדה. הבעיה היא בחוקי המלך שמאפשרים אנומליה מטופשת. דניאל • תרמו ערך 11:29, 7 ביוני 2012 (IDT)

מה מטופש כל כך בהתייחסות לפי ממוצע? נניח שאתה הוא בעל הארמון, ונניח, לצורך העניין, שככל שחלקיק קטן יותר הוא משחק תפקיד חשוב יותר בהתנהלות הטבע ולכן נודעת חשיבות רבה יותר לגילויו, איך היית מציע להתייחס לחלקיק שמדתו לא ברורה - לא לפי מידה ממוצעת ביחס לכלל האפשרויות? (אם לאחת האפשרויות סבירות גבוהה יותר משום מה - אין מניעה לקבוע את הממוצע בהתאם לכך, ואין לזה השפעה על הפרדוקס).

בעולם שבו אפשר לקבוע יחסים מוזרים בין חלקיקים (כמו האחד גדול פי שניים מהשני אך לא ידוע מי מהם), חישוב הממוצע הוא אכן מטופש. הסיפור שלך מדגים זאת היטב. דניאל • תרמו ערך 14:04, 7 ביוני 2012 (IDT)

לא הבנתי את הקשר בין היחס המוזר לממוצע, ובין שניהם לפרדוקס, אבל הבה נחזור למעטפות: איך המספר הנודע מסגיר משהו לגבי המספר השני כאשר האפשרויות אינסופיות? שחר יפציע - שיחה 16:42, 7 ביוני 2012 (IDT)

הטענה היא שלא ניתן לבחור מספר בהתפלגות אחידה מבין אפשרויות אינסופיות. השאלה הקשה יותר היא למה? את זה הערך לא מסביר. בברכה, --איש המרק - שיחה 18:20, 7 ביוני 2012 (IDT)

שים לב, הטענה היא שאין התפלגות אחידה על קבוצות באורך אינסופי. על קבוצות עם אורך סופי (גם אם הן אינסופיות) יש התפלגות אחידה. למשל ההתפלגות האחידה על קטע היחידה היא ההתפלגות שבה ההסתברות שייבחר מספר בתת-קטע מסוים היא אורך התת-קטע. הסיבה פשוטה שאין התלפגות אחידה על כל הישר הממשי פשוטה מאוד. כאשר יש קטעים מאורך אינסופי וההתפלגות אחידה ההסתברות שמספר יימצא בקטע סופי כלשהו חייבת להיות 0. אבל אז נוכל לחבר את ההסתברויות שמספר אקראי יימצא באוסף קטעים סופיים המכסים את הישר, ונקבל שההסתברות שמספר יימצא בישר כולו היא אפס. סתירה. דניאל • תרמו ערך 22:19, 7 ביוני 2012 (IDT)

שאלה

אני לא הבנתי את הפיתרון. האם הכרחי להבנתו שימוש במשוואות מתמטיות? האין דרך להסביר את התשובה במילים ומספרים של יום יום? בתודה מראש אגלי טל - שיחה 14:35, 12 במרץ 2018 (IST)

קרא בעיון את הפרדוקס (ללא ההסבר). הוא מניח שכל סכומי הכסף סבירים באותה מידה. פתרון הפרדוקס הוא שההנחה הזו אינה נכונה. עוזי ו. - שיחה 23:43, 12 במרץ 2018 (IST)

זה מה שלא הבנתי. מדוע אינה נכונה? בתודה אגלי טל - שיחה 08:35, 13 במרץ 2018 (IST)

כדי להבין את זה אי אפשר להסתפק בתאור הפרדוקס שבו מישהו "בוחר" את X, וצריך לשאול *איך הוא בוחר*. זו עובדה מתמטית, שאי אפשר לבחור מספר (ממשי, נניח) כך שכל הערכים סבירים באותה מידה. עוזי ו. - שיחה 09:34, 13 במרץ 2018 (IST)

לא נעים לי לומר אבל לא הבנתי מילה. אגלי טל - שיחה 10:10, 13 במרץ 2018 (IST)

לכן הקדמתי והצעתי שתקרא את תאור הפרדוקס. "באחת המעטפות ישנו סכום כסף מסוים (X) ובשנייה סכום כפול (2X)". איך הגיע X למעטפה? מישהו בחר את המספר הזה (כלומר, החליט האם לשים במעטפה אחת 14 שקלים ובשניה 28, או באחת 28 ובשניה 56). מי שמקבל את שתי המעטפות, פותח אחת מהן ומוצא 28 שקלים, תוהה: האם בשניה יש 14 שקלים, או שמא 56? האם להשאר עם המעטפה הזו, או להחליף? זוהי דילמה ולא פרדוקס, ופתרונה הוא שההחלטה הרציונלית תלויה ברווח או ההפסד שינבע מהחלפת המעטפה, יחד עם הסיכויים לכל תופעה. הדילמה הופכת לפרדוקס (כפי שמוסבר במבוא) רק כאשר מניחים שהסיכויים לשתי האפשרויות שווים. הנימוק המתמטי המורכב נכנס רק בשלב הזה, כדי להעיר שהנחת היסוד הזו אינה יכולה להיות נכונה. עוזי ו. - שיחה 12:42, 13 במרץ 2018 (IST)

עד כאן הבנתי אותך. עכשיו כדי להסביר למה שתי האפשרויות אינן שוות, אין מנוס משימוש בנוסחה המתימטית? בתודה אגלי טל - שיחה

אין כאן "נוסחה מתמטית". (יש בכלל נוסחאות מתמטיות?). צריך להבין מהי התפלגות אחידה, ומדוע אין התפלגות אחידה על כל הממשיים. זה לא מחייב נימוקים מסובכים: אם היתה התפלגות אחידה כזו, אז הסיכוי ליפול בין 7 ל-8 היה שווה לסיכוי ליפול בכל קטע אחר באותו אורך, אבל יש אינסוף קטעים כאלה; אם הסיכוי לכל קטע הוא אפס, אי אפשר לצבור הסתברות חיובית; ואם הסיכוי גדול מאפס, יצא שיש קטעים שהסיכוי ליפול בהם גדול מ-1. עוזי ו. - שיחה 17:00, 16 במרץ 2018 (IST)