שיחה:משפט דיריכלה

איך לתרגם condactor

איך לתרגם condactor? האם כדאי לתרגם או לתעתק? רמי (Aizenr) - שיחה 06:43, 3 באוגוסט 2021 (IDT)

במילון למונחי האלגברה של משה ירדן, הוא מתרגם conductor כמנחה. אני בעד. עוזי ו. - שיחה 11:07, 3 באוגוסט 2021 (IDT)

בוצע. רמי (Aizenr) - שיחה 07:33, 5 באוגוסט 2021 (IDT)

סיום העבודה על הערך ובקשת משוב

אני חושב שסימתי לעבוד על הערך (לפחות לבנתיים; אני עובד על תרשם זרימה של ההוכחה, אבל זה עוד יכך זמן, אם בכלל יסתיים...). כרגיל אשמח למשוב/תיקונים/הרחבות. ספציפית אשמח להתיחסות לנקודות הבאות:

1. נגישות. ההוכחה עצמה מאוד מסובכת ובהתאם יכולה להיות נגישה רק למי שיודע מספיק מתמטיקה, אבל יש לא מעט מידע נוסף שיכול להיות נגיש יותר. ניסיתי להפריד אותו מהמתמטיקה במידת האפשר. האם הצלחתי?
2. סדר הפסקאות:
   • שמתי את פסקת ההיסטוריה לפני ההוכחה, כי היא נגישה יותר. מצד שני, על חלק מההיסטוריה קשה לדבר בלי פרטים על ההוכחה. לכן הוספתי את התת-פסקה "מספר הערות היסטוריות". האם זה פתר את הבעיה.
   • שקלתי להעביר את פסקת הסיכום שנמצאת לקראת סוף ההוכחה לתחילתה בתור סקירה של ההוכחה. אבל החלטתי שעדיף שתהיה בסוף, כי אחרת קשה לדבר על ההוכחה. מה דעתכם? אולי כדאי להוסיף פסקה פחות מפורטת בתחילת הוכחה שתסקור?
3. סלברג: בויקיפדיה האנגלית מוצגת הוכחתו של סלברג בתור "הוכחה אלמנטריות", גם סלברג מציג את הוכחתו כאלמנטרית יותר מהקודמות. אני חושב שתאור זה חוטא לאמת. סלברג כותב שהוא לא משתמש בסכומים אינסופיים אלה רק בסכומים סופיים, אבל למעשה הוא מנתח את האסימפטוטיקה של סכומים אלו כשגודלם שואף לאינסוף, שזאת מהותה של האנליזה המתמטית. כמו כן, הוא משתמש בפונקציית הלוגריתם שהגדרתה דורשת את האנליזה המתמטית. הוא גם נמנע מלהשתמש במספרים מרוכבים, אבל גם הרבה מההוכחות הקודמות לא השתמשו באנליזה מרוכבת, ואת השימוש של מספרים מרוכבים בהם קל להחליף בשימוש בטריגונומטריה. מצד שני הוכחתו של סלברג שונה מהותית מההוכחות הקודמות, וזכתה לתשומת לב רבה (למשל התפרסמה באנלס; אם כי ייתכן שלזהות המוכיח היתה השפעה על תשומת לב זאת...) לכן לא נראה לי שנכון להתעלם ממנה. האם ההתייחסות שלי אל ההוכחה הזאת בערך, מתאימה?
4. כמו ביתר הערכים שאני כתב, אשמח עם משהוא יכל לעבור על העיברית, הביבליוגרפיה והתעתיקים (ראו פרטים בשלושת הנקודות האחרונות כאן)

מכתב את עוזי ו., שרעטל, דוד שי, MathKnight.

תודה רבה. רמי (Aizenr) - שיחה רמי (Aizenr) - שיחה 13:49, 6 ביוני 2022 (IDT)

יש עוד שני נושאים שרציתי לשאול עליהם ושכחתי:

1. תמונות: התמנה של אוקלידס היא בדיונית. אני מעריך שגם התמונה של ארטוסתנס, אבל לא מצאתי לכך סימוכין, (משהוא יכול לוודא את זה?). בהנחה שהן בידיוניות, האם כדאי להשאיר אותן, או להחליפם בתמונה של יצירה שלהם (למשל יסודות של אוקלידס או נפת ארטוסתנס)? התמונה של לז'נדר היא קריקטורה, היא מופיע בערך על לז'נדר כי אין תמונה אחרת, אני לא יכול לחשוב על תחליף טוב, ואני חושב שהיא עדיפה על לא-כלום. למישהו יש רעיון אחר?
2. עימוד: העימוד של התמונות יצא לי לא כל-כך מוצלח. שרעטל טיפלה בזה בחלק מהתמונות. העימוד גם תלוי מאוד בתצוגה. אשמח אם משהו יכול לעבור במספר תצוגות שונות.

תודה רבה, רמי (Aizenr) - שיחה 14:21, 10 ביוני 2022 (IDT).

הערך הזה יכול להיות מבוא טוב מאד למתחילים לתורת המספרים האנליטית. אני מציע לסלק את הציון "p - ראשוני" בסכומים והמכפלות; אפשר לציין את זה בגוף הטקסט. בפרק ההיסטוריה אני לא חושב שמשוואת פל שייכת לכאן; גם אם מתמקדים בהתפלגות הראשוניים יש יותר מדי מה לומר. (ועדיין לא עברתי בעיון על רוב הערך). עוזי ו. - שיחה 00:25, 7 ביוני 2022 (IDT)

תודה רבה,

לגבי האזכור ש-p ראשוני, הסיבה שהוספתי אותו היא שאני מעדיף שהנוסחאות יהיו self contained. אני קורא את הטקסט בדרך כלל באופן לא ליניארי, אלה מנסה למצוא את החלק הרלבנטי בשבילי. הרבה פעמים אני מתמקד בנוסחאות, ואז מנסה להבין את הטקסט מסביב. אני לא ידע האם זה יחודי (למשל כי זה קשור לדסלקסיה) או שהרבה אנשים עושים כך. אם זה המצב, אז משהוא שקורא את הנוסחה יכול לקבל ממנה רושם שגוי, וזה לא ממש עוזר שאיפשהו בהתחלה כתוב ש-p ראשוני.  אפשר כמובן לציין זאת בסמוך לכל נוסחה, אבל אז זה נראה לי יותר מסורבל מאשר בתוך הנוסחה. זה אכן די מקובל בתורת המספרים ש-p מסמן ראשוני ובמאמרים לפעמים לא מצינים את זה, אבל זה לא תמיד כך, לפעמים p  מסמן עוד דברים, ובכל מקרה לא כל הקוראים מודעים לקונבנציה.

לגבי משוואת פל, אכן אם צריך לוותר על תת-פרק אחד בפרק ההיסטוריה אז זה יהיה עליה. מצד שני, היא בהחלט רכיב חשוב בפיתרון ולכן רציתי להזכיר אותה בפסקת ההיסטוריה. באופן כללי, פתרון של בעיה מתמטית תמיד מסתמך על פרמידה גדולה של תוצאות קודמות, אני חושב שכדאי להמחיש זאת בערכים על תוצאות מתמטיות בכך שסוקרים את התוצאות החשובות עליהן התבססה ההוכחה.

הדעה שלי בשתי הנקודות האלה לא מאוד מוצקה, בכל מקרה אשמח לשמוע עוד עמדות.

להתראות, רמי (Aizenr) - שיחה 12:50, 10 ביוני 2022 (IDT)

קישורים חיצוניים

החזרתי את כותרת המשנה לקישורים החיצוניים (תוך שמירה על תיקונים שבוצעו בהם, כמובן). הן עוזרות לי (ואני מאמין שגם לקראים נוספים) לסדר את המידע. לכן אני מתנגד לשינוי שבוצע. עם זאת, אני מבין שזה עינין סוביקטיבי, כך שאם יהיה רוב בעד שינוי זה, אני אסיר את התנגדותי. רמי (Aizenr) - שיחה 10:29, 18 ביוני 2022 (IDT)

אי-בהירות בהוכחת המשפט על קיום אינסוף ראשוניים שאינם ריבוע (מודולו מספר טבעי גדול מאחד)

קודם כל צריך להסביר למה יש לפחות מספר ראשוני אחד שאינו ריבוע מודולו m ואינו מחלק את k, אחרת N אינו מוגדר היטב. שנית, גם אם נותנים כזה הסבר, אז עדיין צריך להסביר איך המשפט היסודי של האריתמטיקה מראה את הקיום של גורם ראשוני של N שאינו ריבוע מודולו m (המשפט היסודי של האריתמטיקה מראה שיש ל N גורמים ראשוניים, אבל לא ברור למה בהכרח אחד מהם אינו ריבוע מודולו m). שלישית, צריך להסביר למה גורם ראשוני כזה, אם קיים, אינו יכול לחלק את k (אם k=1 אז זה ברור, ואולי מראש עדיף לקחת k=1 ולא k כללי). דניאל ראם • שיחה 06:38, 19 במאי 2024 (IDT)

תודה רבה על ההערה. איזה כיף שאנשים קראים לעומק. תיקנתי. האם עכשיו זה ברור? להתראות, רמי (Aizenr) • שיחה 17:27, 19 במאי 2024 (IDT)

תודה רבה על התגובה ועל התיקון. עדיין יש כמה עניינים שאינם לגמרי ברורים. ראשית, איפה ההסבר לכך שבהכרח יש מספר טבעי k שגם זר ל m וגם אינו ריבוע מודולו m? שנית, ישנה בעיה כאשר המכפלה בהגדרת N ריקה: במקרה כזה N=k וגם כל מספר ראשוני שאינו ריבוע מודולו m בהכרח מחלק את k (ולכן את N). לכן אמנם N אינו ריבוע מודולו m, ולכן (לפי ההסבר שהוספת) יש לו לפחות גורם ראשוני אחד p שאינו ריבוע מודולו m, אבל לא ברור למה בהכרח p חייב להיות שונה מכל יתר המספרים הראשוניים שאינם ריבוע מודולו m (שיש מספר סופי מהם, לפי הנחת השלילה). מקווה שאפשר להבהיר את הנקודות האלו בהוכחה. תודה מראש וגם תודה על ההשקעה הרבה בעריכת הערך הזה. דניאל ראם • שיחה 19:16, 19 במאי 2024 (IDT)

תיקון: כאשר המכפלה בהגדרת N ריקה אז N=m+k דניאל ראם • שיחה 19:19, 19 במאי 2024 (IDT)

אוקיי, עכשיו ברור לי למה גם כאשר המכפלה בהגדרת N ריקה אז אין בעיה: כי במקרה כזה יש ל N גורם ראשוני אחד (שנסמן ב q) שאינו ריבוע מודולו m, וגורם כזה בהכרח מחלק את k (זה הוסבר בתגובה מלפני כמה דקות, כלומר משעה 19:16). לכן q מחלק את N ואת k ולכן את ההפרש ביניהם כלומר את m, סתירה כי הנחנו ש m זר ל k.

מסקנה: נשאר להסביר רק את הנקודה הראשונה, כלומר שבהכרח יש מספר טבעי k שגם זר ל m וגם אינו ריבוע מודולו m. דניאל ראם • שיחה 19:25, 19 במאי 2024 (IDT)

קח גורם ראשוני p של m. בדיוק מחצית מהערכים 1,...,p-1 הם ריבועים מודולו p, והשאר אינם ריבועים. אני לא חושב שנחוץ להסביר את זה בערך הזה. עוזי ו. • שיחה 23:44, 19 במאי 2024 (IDT)

תודה על התגובה. אפשר כמובן לא להציג הוכחה, אלא הפנייה למקום אחר בו נמצאת ההוכחה אבל אם כבר מוצגת הוכחה, אז היא צריכה להיות מלאה וברורה, בטח כאשר קהל היעד - לפחות ברובו - אינו מורכב ממומחים לתורת המספרים וכאשר לא באמת מסובך להציג הוכחה מלאה וברורה. זו דעתי. דניאל ראם • שיחה 04:03, 20 במאי 2024 (IDT)

ואגב: עד כמה שאני מבין, הטענה שטענת אינה בדיוק הטענה שצריך להוכיח (הנקודה הראשונה מהתגובה מתאריך 19/5/2024 שעה 19:16) כדי להשלים את הוכחת המשפט האמור. דניאל ראם • שיחה 04:16, 20 במאי 2024 (IDT)

ועוד משהו בנוגע לטענתך (מעבר לשימוש או האי-שימוש שלה לצורך השלמת ההוכחה במשפט האמור): משהו לא מסתדר לי בטענה הזו כאשר m=p=2: הרי במקרה כזה יש רק ערך אחד בין 1 ל p-1, והוא ריבוע מודולו p=m (וכך כמובן גם הערך 0). דניאל ראם • שיחה 05:15, 20 במאי 2024 (IDT)

תגובה לרמי: תודה רבה. משום מה אני לא מצליח להגיב לך ישירות, וגם לא רואה בדף השיחה הזה את התאריך והשעה בה פורסמה התגובה שלך (ואפילו לא את שמך כמי שחיבר את התגובה). בכל מקרה, ביצעתי כמה שיפורים קלים להוכחת הטענה החדשה שפרסמת. דניאל ראם • שיחה 23:03, 20 במאי 2024 (IDT)

אכן, צריך להוסיף הנחה m>2. הוספתי. כדי להשלים את הארגומנט של עוזי צריך גם להוסיף את המקרה של חזקה של 2 (הכל מ-4). גם מקרה זה כל מאוד. באופן כללי הוספתי את הטענה הזאת כדי לתת דוגמה להוכח אלמנטרית אבור מודולוסים נמוכים. כשאני למדתי הדוגמה הראשונה שהראו לנו היתה 3 מודולו 4. במקום לכתוב את הדוגמה הזאת כתבתי על מספרים שאינם ריבוע, כי חשבתי ש"באותו כסף" מקבלים טענה כללית יותר. עכשיו אני מבין שזה לא ב"באותו כסף" כי אני מניח כאן ידע בסיסי על שארית ריבועיות. אוסיף את הדוגמה של 3 מודולו 4. כחימום.