שיחה:מידה סינגולרית

ביקורת עמיתים

כתבתי ערך על מידה סינגולרית.

מדובר בערך עזר על-מנת שאוכל לעבור לכתוב ערכים על משפט הפירוק של ז'ורדן ומשפט הפירוק של לבג.

אשמח מאוד לביקורת עמיתים של יונה בנדלאק, דניאל ב., hagay1000, פשוט, עוזי ו. (בנושאים מסוימים), דביר, איתי (לא בכל מה שקשור למתמטיקה), יואל, ruleroll (גאומטריה), רמי, Tshuva, בר, yotamsvoray, CodeGuru, Zardav, דוד שי, אכן, TergeoSoftware, MathKnight, מקף, E L Yekutiel, שגיא בוכבינדר שדור, YoavDvir, Meir2, Kivkiwi, Innaento בעלי הידע במתמטיקה.

בתודה, שגיא Saroad - שיחה 07:45, 18 ביולי 2023 (IDT)

תודה רבה על הערך, כתוב מעולה.

יש לי שתי שאלות, שנובעות יותר מבורות מאשר מידיעה שאכן יש בעיה או טעות:

1. בתכונה השלישית שמוזכרת, יש התייחסות לפונקציה שהיא סינגולרית ביחס למידה מסוימת. אני לא מכיר הגדרה כזו (אבל זה בהחלט לא אומר שאין כזו...).
2. בדוגמה הרביעית, האם נכון לדבר על פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות קנטור? למיטב ידיעתי היא לא קיימת (גם לא במובן המוכלל של פונקציות דלתא וכד').

‏E L Yekutiel‏ - שיחה 09:58, 20 ביולי 2023 (IDT)

שכחתי לתייג את @Saroad... סליחה. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 00:30, 26 ביולי 2023 (IDT)

היי @E L Yekutiel, תודה על ההערות! הנה התייחסותי:

1. פונקציה סינגולרית היא פונקציה שנקודות אי-הרציפות שלה הן קבוצה ממידה אפס. תכונה זה חייבת להיות ביחס למידה כלשהי. מה שניסיתי להגיד, ואשמח אם תתקן אותי אם אתה מוצא ניסוח טוב יותר, שאם תיקח שתי מידות הסתברות (כלומר, מידות שגודלן על כל המרחב הוא 1) וסינגולריות אחת ביחס לשניה ותייצר פונקציית הסתברות של משתנה מקרי לפי אחת מהן, תקבל פונקציה שהיא בהכרח סינגולרית לפי השניה (קריא, נקודות אי הרציפות יהיו ממידה אפס ביחס למידה השניה).
2. זה גם בדיוק מה שקורה עם פונקציית קנטור: פונקציית קנטור היא פונקצייה מונוטונית עולה שהולכת מ-0 ל-1, לכן ניתן להתייחס אליה כפונקציית הסתברות. מסתבר כי ניתן להגדיר מידה שהיא סכום בן מניה של פונקציות דלתא כך שפונקציית ההסתברות שנוצרת ממנה על-ידי אינטגרציה היא פונקציית קנטור. מידה זו תהיה סינגולרית ביחס למידת לבג.

לגבי פונקציית קנטור, אני מאוד רוצה להוסיף את ההסבר הזה שכתבתי כאן לערך עליה בפרק שימושים, אבל אני חש שלפני זה ראוי שיהיו בויקיפדיה העברית ערכים על אטום (תורת המידה) (אנ') ומידה בדידה (אנ') כדי שההסבר יהיה קצר יותר. לאחר שאכתוב את שני ערכים אלו אדאג להוסיף את ההסבר לערך על פונקציית קנטור. Saroad - שיחה 17:14, 26 ביולי 2023 (IDT)

תודה על התשובות!

1. נראה לי שהבנתי, אבל אקח את הזמן לעכל את זה עוד קצת. רק משהו קטן: הכוונה היא שקבוצת נקודות אי הגזירות שלה ממידה אפס, נכון? ע"פ ההגדרה שאני מכיר היא רציפה בכל מקום.
2. מסכים שניתן להתייחס אליה כאל פונקציית הסתברות מצטברת. אבל, נקודות אי הגזירות שלה הן קבוצה שאינה בת מנייה (למרות שהיא ממידה אפס), ולכן לא ניתן לבטא אותה כאינטגרל של אוסף בן מנייה של דלתאות; למיטב הבנתי אין פונקציה שהאינטגרל שלה הוא פונקציית קנטור, ולכן אי אפשר לדבר על צפיפות הסתברות עבורה, ואולי כדאי לנסח מחדש את מה שמתכוונים לומר. בהנחה כמובן שאני מבין נכון ולא כותב שטויות.

‏E L Yekutiel‏ - שיחה 20:10, 26 ביולי 2023 (IDT)

היי @E L Yekutiel,

לגבי 1, אתה צודק, אני התבלבלתי. הכוונה שקבוצת נקודות אי-הגזירות היא ממידה אפס.

לגבי 2, זה סופר מבלבל. הנה הסבר קצר שאולי יסבר את האוזן: לפונקציית קנטור קבוצת נקודות אי-גזירות ממידה אפס אבל שאינה בת-מניה. זה אומר שלא ניתן לייצר לה פונקציית צפיפות הסתברות.

עם זאת, כל התפלגות באשר היא ניתנת לייצור על-ידי מידה כלשהי (היא חייבת, אחרת אין מרחב התפלגות). הדבר נכון גם להתפלגות קנטור. מסתבר שניתן להגדיר מידה בדידה שהאטומים שלה הם מהצורה ${\frac {m}{3^{n}}}$ כך שפונקציית ההסתברות הנוצרת ממנה היא פונקצית קנטור. אף על פי שנקודות אי-הגזירות שלה הן אינן בנות-מניה, עדיין מספר האטומים הוא בן-מנייה.

עכשיו אני מבין למה אומרים שמתמטיקה קשה להבנה :) Saroad - שיחה 04:52, 27 ביולי 2023 (IDT)

סליחה על העיכוב בתשובה! שכחתי לחזור לכאן...

תודה רבה על ההסבר!

אם לא ניתן לייצר לה פונקציית צפיפות הסתברות, אולי עדיף לשנות את הניסוח של הדוגמה הרביעית? לזה כיוונתי בהערה 2 המקורית.

את הדבר הבא שכתבת אני מבין, ומסכים איתו לגמרי: יש מידה שמתאימה להתפלגות קנטור (ההתפלגות שעבורה ההסתברות המצטברת היא פונקציית קנטור). המידה הזו נותנת למשל לכל קטע מהשלב ה-j בבנייה של קבוצת קנטור (שאורכו 1/3 בחזקת j) מידה של 1/2 בחזקת j. למשל [0,1/3] יקבל מידה 1/2.

אבל אם נתמקד בסדרת הקטעים שנקודת הקצה שלהם היא מספר מהצורה m/3^n כפי שכתבת, לאורך הבנייה של קבוצת קנטור, נראה שהמידה שלהם קטנה מכל מספר חיובי; למשל, עבור הנקודה 0, המידה של [0,1/3] היא 1/2, המידה של [0,1/9] היא 1/4, וכו', כך שהמידה של {0} חייבת להיות 0. וכנ"ל לכל נקודות הקצה של הקטעים של קבוצת קנטור לאורך כל שלבי הבנייה... ניתן לעקוב אחרי כולם לאורך הבנייה ולקבל שהמידה של כל אחד מהם היא 0.

כלומר המידה הזו היא ללא אטומים, להבנתי... אם אני מבין נכון, אם היו לה אטומים, התפלגות קנטור היתה בדידה ולא סינגולרית.

לגבי הערה 1 המקורית שלי: עדיין לא הקדשתי לכך עוד מחשבה... אשתדל בהזדמנות.

שוב המון תודה על ההסברים והסבלנות! ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 19:46, 2 באוגוסט 2023 (IDT)

היי @E L Yekutiel,

נתחיל מהסוף: אתה צודק ואני טעיתי והטעתי!

מידת ההסתרות שממנה נוצרת פונקציית קנטור היא לא מידה אטומית ולא בדידה. לעומת זאת, המידה שיוצרת את פונקציית קנטור כפונקציית הסתברות היא המידה המתקבלת מתהליך ברנולי (אנ') עם $p={\frac {1}{2}}$.

שיניתי את ההסבר בדוגמה והוספתי הסבר מפורט בערך על פונקציית קנטור.

תודה על ההתעקשות איתי ועל שעזרת לי לדייק את הדוגמה!

אם זה עדיין לא מובן, אנא המשך להתעקש איתי עד שנדייק את זה! Saroad - שיחה 02:49, 4 באוגוסט 2023 (IDT)

שמחתי לעזור! ותודה רבה על ההסבר הזה, אלגנטי ומאיר עיניים.

ההסבר החדש שכתבת בערך, וגם מה שהוספת בפונקציית קנטור, נראים לי בסדר גמור.

לגבי הערה 1 (שמתייחסת לתכונה השלישית בפרק תכונות): יש משהו שעדיין מבלבל אותי, אבל נראה לי שזו לא טעות אלא עניין של מינוח. לא בטוח שצריך לשנות משהו. העניין הוא כזה:

במרחב הסתברות (W,F,P), משתנה מקרי X הוא פונקציה ממרחב המדגם W לממשיים R. מידת ההסתברות P היא פונקציה ממרחב המאורעות F לקטע היחידה U (שנמצא ב-R), ושתי מידות ההסתברות שבערך הן פונקציות כאלה. פונקציית ההתפלגות המצטברת c היא מ-R ל-U.

לכן, קבוצת נקודות אי הגזירות של c היא קבוצה ב-R. לומר שהיא ממידה אפס ביחס ל-mu זה קצת מבלבל, כי כאמור mu מוגדרת על F, שלאו דווקא חייב להיות קשור ל-R...

אולי התכונה תהיה נכונה במקרה שאכן W=R, ואז יש משמעות ברורה למידה של נקודות אי הגזירות ביחס למידות ההסתברות.

אפשרות אחרת שחשבתי עליה היא שבהינתן קבוצה B ב-R, אפשר לשאול מי המקורות ב-W של איברי הקבוצה הזו תחת המשתנה המקרי X (כלומר מיהן הנקודות ש-X יעביר ל-B), ואז אפשר לשאול מה המידה של הקבוצה הזו (בהנחה שהיא ב-F). ולפי זה ניתן לפרש שקבוצת המקורות תחת X של קבוצת נקודות אי הגזירות של פונקציית ההתפלגות המצטברת של X לפי מידה אחת, תהיה ממידה אפס ביחס למידה השנייה.

האם אחת האפשרויות האלה מכוונת לכוונה האמיתית? או ששתיהן שגויות וההסבר אחר?

סליחה אם זה אמור להיות ברור ופיספסתי...

שוב תודה רבה! ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 01:08, 8 באוגוסט 2023 (IDT)

כמובן ששוב שכחתי לתייג... @Saroad ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 09:14, 11 באוגוסט 2023 (IDT)

היי @E L Yekutiel, שיניתי את הניסוח של תכונה 3. לדעתי עכשיו זה יהיה טיפה יותר ברור. Saroad - שיחה 18:12, 11 באוגוסט 2023 (IDT)

תודה רבה! אבל עדיין מציק לי משהו...

אני מכיר הגדרה של פונקציה (אחת) סינגולרית, אבל לא מכיר הגדרה של שתי פונקציות סינגולריות זו ביחס לזו.

לא מצאתי הגדרה כזו בפונקציה סינגולרית או בערך האנגלי, ולא בmathwiki. לא חיפשתי מעבר לזה.

אולי כדאי להבהיר את המשמעות של המושג הזה בערך הזה או בפונקציה סינגולרית, או לנסח איכשהו עם מושג חלופי. ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 19:10, 11 באוגוסט 2023 (IDT)

┐────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────└

שכחתי לתייג, משתמש:Saroad. ראה את התגובה הקודמת שלי.

חשבתי על זה עוד קצת. משהו שכנראה אפשר לומר על שתי הפונקציות בתנאים האלה הוא שבנקודות בהן שתיהן גזירות, מכפלת הנגזרות היא אפס. לא ניסיתי להוכיח אבל אם זה נכון כנראה שקל להוכיח.

בלי קשר לנ"ל, יכול להיות שבתכונה הזו הכוונה היתה כזו:

בהינתן מרחב מדיד ומשתנה מקרי, אפשר לשאול מהי קבוצת המקורות במרחב המדיד של קבוצה כלשהי של מספרים ממשיים, תחת ההעתקה שמגדיר המשתנה המקרי.

עכשיו, בהינתן מידה של המרחב המדיד, ניתן לבנות מידה על הממשיים באופן הבא: בהינתן קבוצה של ממשיים, נשאל מה המקור שלה תחת המשתנה המקרי, ואם זו קבוצה מדידה במרחב המדיד, נשייך לקבוצה הממשית את המידה המתאימה לה משם.

והתכונה השלישית היא אולי זו:

בהינתן שתי מידות הסתברות סינגולריות במרחב המדיד המקורי, פונקציית ההתפלגות של המשתנה המקרי ביחס לכל אחת מהן, תהיה פונקציה סינגולרית ביחס למידה הממשית שמושרית מהמידה השנייה.

גם על זה לא חשבתי עד הסוף אבל אולי לזה הכוונה... ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 21:13, 12 באוגוסט 2023 (IDT)

היי @E L Yekutiel.

אחרי חשיבה מרובה בדבר הגעתי למסקנה שהתכונה המדוברת אינה חשובה מספיק כדי להיות כלולה בערך, בטח שלא לגרום לכזה בלבול. קורא או קוראת עתידיים יוכלו להשיב את התכונה הנוגעת לקשר בין פונקציה סינגולרית למידה סינגולרית בעתיד אם ימצאו ניסוח ברור מזה שאני חשבתי עליו בנוגע לקשר זה. Saroad - שיחה 23:50, 23 באוגוסט 2023 (IDT)

👍

שוב תודה רבה על ההשקעה! ‏E L Yekutiel‏ - שיחה 07:21, 24 באוגוסט 2023 (IDT)