שיחה:הכללה (מתמטיקה)

הכללת משפט פיתגורס

באיזה מובן מהוות הנוסחה של פרמה והנוסחה של אוילר הכללה של משפט פיתגורס? במקרה של פרמה לפחות, אין מופע של B שהוא לא מופע של A (במקרה של אוילר מדברים במפורש על זה שההכללה שגויה. האם אוילר טען שהיא נכונה?)

יתר על כן, לא ברור מה בעצם מכלילים כאן. הנוסחה מהווה הכללה של הנוסחה של משפט פיתגורס, אבל כדי שתהיה הכללה של המשפט, צריך יהיה לדבר גם על המקרים שבהם הקשרים נוצרים, ולשם כך צריך גם הכללה של המשולש ישר הזווית. גדי אלכסנדרוביץ' 16:54, 18 מרץ 2006 (UTC)

מסכים, מדובר כאן בהכללה של המשוואה ולא של המשפט. אני בעד לוותר עליה.

אגב, הייתי מציע גם להחליף את הדוגמא "מבנים אגבריים" בדוגמא קונקרטית יותר. תחומים רבים במתמטיקה עוסקים בהכללת מושגים קיימים. יובל מדר

אין כל בעיה בעובדה שההכללה של אוילר שגויה: אוילר העלה השערה, בדרך של הכללה של משפט פיתגורס, וכנראה שיער שהיא נכונה. הכללה היא חלק מהפעילות המתמטית, ואיש לא הבטיח שתמיד תניב תוצאות נכונות.

לגבי משפט פרמה, ברור שהוא הכללה של משפט פיתגורס (בצורתו האריתמטית, המשוחררת מכבלי הגאומטריה). משפט פיתגורס עוסק בנוסחה שבה n=2, ומשפט פרמה עוסק במקרים שבהם n>2. כתוב בערך "הכללה של הנוסחה", ולא "הכללה של המשפט".

דווקא ההכללה של אוילר אינה מקיימת את ההגדרה של הכללה, ובמצב זה אני מעדיף לתקן את ההגדרה, כי ברור שהנוסחה של משפט פיתגורס (וגם זו של פרמה) היוו נקודת מוצא לאוילר ביצירת הנוסחה שלו. דוד שי 17:50, 18 מרץ 2006 (UTC)

אני לא ממש מבין את מה שאתה אומר. מהו משפט פיתגורס בצורתו האריתמטית, ומהו משפט פרמה בצורתו האריתמטית? גדי אלכסנדרוביץ' 18:59, 18 מרץ 2006 (UTC)

משפט פיתגורס בצורתו האריתמטית הוא הבעיה שהעסיקה את דיופנטוס, שעניינה שלשות פיתגוריות: $\ a^{2}+b^{2}=c^{2}$, מצא a, b, c שלמים שמקיימים משוואה זו. כאן אין משולשים ואין גאומטריה, רק מספרים, כלומר אריתמטיקה. למשפט פרמה אין צורה גאומטרית, הוא עוסק רק במספרים, ומהווה הכללה של בעיית השלשות הפיתגוריות. "אהה!", אני שומע אותך צועק, "בישלת כאן דייסה, וערבבת את משפט פיתגורס עם בעיית השלשות הפיתגוריות, לך לאנציקלופדיה של ynet". אחפש מוצא מן הסבך. דוד שי 19:19, 18 מרץ 2006 (UTC)

אני באמת צועק. משפט פיתגורס מדבר על משולשים ישרי זווית. בפרט, המשולש ישר הזווית שאורך כל אנך בו 1 ואורך היתר שורש שתיים שכל כך הטריד (לפי האגדה) את פיתגורס עצמו. הפלא ופלא - שלושת המספרים הללו, 1,1, שורש 2, בכלל לא מהווים "שלשה פיתגורית" מהסוג שדיופנטוס מחפש. לדבר על "משפט פיתגורס בצורתו האלגברית" נשמע לי כמו התעלמות מביכה למדי ממשמעותו של משפט פיתגורס, מה גם שאם אנחנו מדברים על הבעיה של מציאת שלשות פיתגוריות, מה המשפט כאן? "יש שלשות פיתגוריות"? "במשולש ישר זוויות שאורכי צלעותיו מספרים שלמים, הצלעות מהוות שלשה פיתגורית"? גדי אלכסנדרוביץ' 20:23, 18 מרץ 2006 (UTC)

לו ראית את התיקון בערך, היית נרגע. דוד שי 20:59, 18 מרץ 2006 (UTC)

אני כמעט רגוע, רק שהחלק על אוילר נראה לי טיפה מוזר. מה הכוונה "הכללה של הנוסחה" במקרה זה? ומה השגיאה? לא ברור מה אוילר שיער ולמה הוא טעה. גדי אלכסנדרוביץ' 21:24, 18 מרץ 2006 (UTC)

עכשיו ברור יותר. דוד שי 21:34, 18 מרץ 2006 (UTC)

בהחלט. עד עכשיו הייתי תחת הרושם שאוילר טען שיש פתרון למשוואה (מבלי לומר במפורש מהו, כמובן), והתבדה. גדי אלכסנדרוביץ' 21:37, 18 מרץ 2006 (UTC)

הסברים

מחקתי מהערך את הטענה "משפט טניאמה-שימורה הוא סוג של הכללה של המשפט האחרון של פרמה" משום שהמלה "הכללה" אינה מתארת היטב את הקשר בין שני הנושאים. תיקנתי גם את הדוגמא "השערת הגאומטריזציה של תרסטון היא הכללה (שהוכחתה מיוחסת לגריגורי פרלמן) של משפט טניאמה-שימורה" שפשוט אינה נכונה ל"השערת הגאומטריזציה של תרסטון היא הכללה (שהוכחתה מיוחסת לגריגורי פרלמן) של השערת פואנקרה"; זהו עניין אחר לגמרי, ולא "הכללה שולית" של הטענה שנמחקה. עוזי ו. - שיחה 22:10, 1 ביוני 2013 (IDT)

כן, אבל האם היא הכללה מספיק מייצגת ומספיק מרכזית ? האם נראה, מתוך התבוננות ברשימת ההכללות האחרות, שהיא מתאימה להופיע בכפיפה אחת יחד איתן ? עצם העובדה שהערך המדובר עדיין מופיע בצבע אדום מדברת בעד עצמה, לא ? 84.111.9.220 00:42, 5 ביוני 2013 (IDT)