שיחה:דמיון מטריצות

עקבה

למטריצות דומות יש את אותה עקבה, אך לא את אותה עקבה. אבינעם 20:11, 5 אוקטובר 2005 (UTC)

טריוויה

לעוזי,
נראה לי שהסבר מדוע יחס הדמיון הוא יחס שקילות חשוב כאן, ואינו סתם טריוויה. דמיון מטריצות נלמד בדרך-כלל בתחילת התואר, ולא תמיד ברור מהו יחס שקילות ומדוע יחס מסויים הוא יחס שקילות. לכן לא מספיק לתת הפניה, אלא חשוב להסביר כאן - גם אם ההסבר נראה טריוויאלי.

בנוגע לאם ורק אם: אכן הסרתי אותו מן ההגדרה, והעברתי לתחילת הערך, שם יש הסבר על דמיון מטריצות (ולא הגדרה), ולכן ראוי שיהיה שם אם ורק אם.

בברכת שנה טובה. אבינעם 18:34, 6 אוקטובר 2005 (UTC)

יחס שקילות הוא מושג כל-כך בסיסי, שאני מעדיף שכל קורא שעדיין לא הפנים אותו יקפוץ לערך המתאים לרענון זכרונו. חזרה נפרדת על התכונות ממסכת את הכלליות של המושג הזה, שהיא מאד חשובה להבנת הנושא. מצד שני, נכון שיחס הצמידות של מטריצות הוא דוגמא חשובה ליחס שקילות, ומכאן הצעת הפשרה: בערך על יחסי שקילות, ראוי לתת (במקום בולט) גם את הדוגמא הזו. עוזי ו. 00:36, 7 אוקטובר 2005 (UTC)

לעוזי: אפשר בהחלט לתת את הדוגמה ביחס שקילות, אולם עדיין מפריע לי המשפט:

כאמור, זהו יחס שקילות ולכן אפשר לומר ש- $\ A,B$ דומות זו לזו.

שהופך את הערך ללא שלם. חסר לי משפט בסגנון:

נשים לב כי אם A דומה ל-B אזי גם B דומה ל-A כי .... ולכן אפשר לומר ש- $\ A,B$ דומות זו לזו.

כלומר, חסר לי החלק הסימטרי ביחס בשקילות שהופך את ההגדרה (הלא סימטרית) ליחס סימטרי. בברכה, אבינעם 22:32, 8 אוקטובר 2005 (UTC)

אבל סימטריות היא הרי חלק מחוייב בכל יחס שקילות. אתה אולי מעדיף "זהו יחס שקילות (ובפרט, יחס סימטרי), ולכן אפשר לומר ש- $\ A,B$ דומות זו לזו", וזה בסדר; אני מעדיף להשאר עם הגירסה הנוכחית, כדי לא לקדם את האשליה המסוכנת שאפשר להבין משהו בלי לדעת מה זה יחס שקילות. עוזי ו. 00:04, 9 אוקטובר 2005 (UTC)

לעוזי: תלמידי האוניברסיטה הפתוחה יכולים לעבור את הקורס הבסיסי באלגברה לינארית מבלי ששמעו דבר על יחס שקילות, אולם הם לומדים על דמיון מטריצות. ולכן נדרש משפט שמסביר מדוע זהו יחס סימטרי, למרות שההגדרה אינה סימטרית. מעבר לזה, ההתעקשות שלך לא להוסיף משפט הבהרה (שייתכן שהוא מיותר לחלק מן הקוראים) נראית לי תמוהה, ולכן יש בדעתי לבקש את חוות דעתם של כותבים נוספים. בברכה, אבינעם 22:39, 10 אוקטובר 2005 (UTC)

במקרה זה אני מסכים עם אבינועם. ערכתי את הערך בגישה פשרתית: מצד אחד לא נתתי הגדרה ליחס שקילות, מאידך הראתי שאכן יחס הדמיון (כפי שהוגדר) מהווה יחס שקילות. מלבד הסבר לסימטריות של היחס אני רואה בכך גם הזדמנות טובה להראות כיצד מוכיחים טענות בסיסיות הקשורות בדמיון מטריצות ולתת לקורא "להרגיש את היחס בידיים". ההוכחות מאוד פשוטות (הראשונה אפילו טריוויאלית) אבל מאחר שקהל היעד של הערך הוא סטודנטים למתמטיקה ומדעים בתחילת דרכם, אני חושב שתוספת זו מהווה יותר עזר מאשר מטרד. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 23:05, 10 אוקטובר 2005 (UTC)

את הגישה ה"פשרתית" לא מצאתי. 1: ידוע שיותר בטוח ליסוע לאט. 2: אנשים נוסעים לאט יותר בדרכים משובשות מאשר בכבישים סלולים היטב. מסקנה: כדי להגביר את בטיחות הנסיעה, יש לשבש פה ושם את הכבישים. עוזי ו. 02:32, 11 אוקטובר 2005 (UTC)

שאלת הדיוט

"אם לשתי מטריצות בגודל 2*2 או 3*3 יש אותם פולינום אופייני ופולינום מינימלי, אז הן דומות. מצד שני, קל להציג מטריצות בעלות אותם פולינום אופייני ופולינום מינימלי (מסדר 4 או יותר, כמובן), שאינן דומות זו לזו." לא ממש מובן בערך (או שסתם לא הבנתי)- מה הקשר דווקא לגודל 2 או 3? הדס 19:19, 20 באוגוסט 2007 (IDT)

באופן כללי, אם לשתי מטריצות יש את אותו הפולינום האופיני ואותו הפולינום המינימלי, הן לא בהכרח מטריצות דומות. אולם עבור מטריצות מסדר 2 או 3 המשפט הנ"ל נכון. האם זה מסביר את הכתוב בערך? אבינעם 20:15, 20 באוגוסט 2007 (IDT)

את המשפט הבנתי.. מה שלא הבנתי זה למה? מה מיוחד בגודל 2/3? (גם שאלתי כמה שלומדים איתי, והם אמרו שזה לא נכון אף פעם) הדס 20:29, 20 באוגוסט 2007 (IDT)

נראה לי שאפשר לראות זאת מצורת ז'ורדן של המטריצות. ‏עדיאל‏ 20:39, 20 באוגוסט 2007 (IDT)

ההבדל הוא שאם את יודעת שסכומם של כמה מספרים הוא 2 או 3, ואת יודעת את הגדול מביניהם, אז את יודעת את כל המספרים. אם הסכום הוא 4, התכונה הזו אינה נכונה (משום ש- 4=2+2=2+1+1).

(הסבר: כדי להבין מטריצה צריך לחשוב על המרחב הוקטורי שעליו היא פועלת, כאילו היה מודול מעל חוג הפולינומים, ביחס לפעולה שהמטריצה משרה. במקרה כזה, מחלקת הדמיון מאופיינת על-ידי גורמי ההרכב של המודול, המתארים אותו (באופן חד-ערכי) כסכום ישר של מודולים ציקליים; ואידך זיל גמור). עוזי ו. 20:48, 20 באוגוסט 2007 (IDT)

טוב, בגלל שלא הבנתי חצי מהמילים בהסבר, כנראה שאני גם לא צריכה להבין את זה.. (לפחות לא השנה) תודה בכל מקרה! הדס 21:04, 20 באוגוסט 2007 (IDT)

מההתחלה. אם יש לשתי מטריצות אותו פולינום אופייני, ובמקרה הפולינום הזה אי-פריק, אז הן דומות. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים אי-פריקים שכולם זרים זה לזה - אותו דבר בדיוק. הסיבוך מתחיל רק כאשר לפולינום האופייני יש גורמים כפולים. כעת, במימד 2, פירושם של גורמים כפולים הוא שהפולינום הוא (עקרונית) $\ x^{2}$. מטריצות עם הפולינום האופייני הזה מתחלקות לשתי מחלקות דמיון, שאפשר להבדיל ביניהן לפי השאלה מהו הפולינום המינימלי. במימד 3 זה כמעט אותו סיפור: אם הפולינום הוא (עקרונית) $\ x^{2}(x+1)$, יש שתי מחלקות, ואם הפולינום הוא (עקרונית) $\ x^{3}$, יש שלוש מחלקות. בשני המקרים אפשר להבדיל בין המחלקות בעזרת הפולינום המינימלי.

לעומת זאת, במימד 4 הפולינום המינימלי יכול להיות $\ x^{4}$, וכאן לא מספיק לדעת מהו הפולינום המינימלי. למשל, לשתי המטריצות $\ e_{12}$ ו- $\ e_{12}+e_{34}$ יש אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי, אבל הן אינן דומות (כי אין להן אותה דרגה; במאמץ קטן אפשר לרקוח דוגמא שבה גם הדרגה לא עוזרת). עוזי ו. 21:25, 20 באוגוסט 2007 (IDT)

נראה לי שהבנתי. תודה רבה על התשובה המפורטת! הדס 21:44, 20 באוגוסט 2007 (IDT)

(שעורי בית: למצוא שש מטריצות שאינן דומות זו לזו, ולכולן פולינום אופייני x^6; מתוכן לשלוש פולינום מינימלי x^2, ולשלוש פולינום מינימלי x^3). עוזי ו. 21:56, 20 באוגוסט 2007 (IDT)

שבירת שו\\רות

מה עדיף -

1. אם A דומה ל B ו B דומה ל C אזי A דומה ל C:

נניח ש $\ A=P^{-1}BP$ וגם $\ B=Q^{-1}CQ$

אזי $\ A=P^{-1}(Q^{-1}CQ)P=(QP)^{-1}C(QP)$

וברור גם ש $\ QP$ הפיכה. לכן $\ A$ דומה ל $\ C$ לפי ההגדרה.

או -

1. אם A דומה ל-B ו-B דומה ל-C אז A דומה ל-C: אם $\ A=P^{-1}BP$ ו- $\ B=Q^{-1}CQ$ אז $\ A=P^{-1}(Q^{-1}CQ)P=(QP)^{-1}C(QP)$, ומכיוון שגם $\ QP$ הפיכה, גם $\ A$ דומה ל $\ C$.

?

―עוזי ו. (שיחה | תרומות | מונה) לא חתם ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

באופן כללי אני מעדיף כתיבה רציפה ללא שבירת שורות (ושהדפדפן ישבור על-פי הרזולוציה של המסמך), ואם רוצים להציג נוסחה בשורה נפרדת, אזי להציג אותה במרכז (כמו displaymath). אינני אוהב את כל ההזחות עם הנקודתיים. במקרה דנן אפשר (אם רוצים) להפריד את שורת הכותרת משורת ההוכחה, אך ללא הזחות. בברכה, אבינעם - שיחה 08:31, 10 במרץ 2010 (IST)

בנושא תכונות מטריצות דומות

האם שתי מטריצות בעלות אותם וקטורים עצמיים הן דומות? אם לא האם במקרה שהן בעלות אותם וקטורים עצמיים, ערכים עצמיים, ריבוי גיאומטרי ושאר הערכים שנזכרו בתכונות הדומות הן כן דומות בהכרח? כדאי להוסיף לערך.אריק1111 - שיחה 19:56, 6 ביוני 2012 (IDT)