שיחה:אי-שוויון המשולש האינטגרלי

לשפץ את ההוכחה. להשתמש באינטגרל ריימן ואי שוויון המשולש כך שיתאים לכל מרחב מטרי.

השלב האחרון בהוכחה לא ברור

איך מגיעים מכך שהאינטגרל של פונקציית הערך מוחלט גדול מזה של הפונקציה וגם ממינוס של עצמו לתוצאה? (או שאולי זה נשאר בתור אימון מוחי לקורא)

אריק1111 - שיחה 00:52, 9 בספטמבר 2012 (IDT)

הוכחה ללמה שפונק' הערך המוחלט אינטגרבילית

אשמח אם מישהו בעל ידע בתחום יבדוק האם ההוכחה שכתבתי תקפה, ואם כן, אשמח אם יוכל לשלבה בערך. תודה מראש, יואב - שיחה 15:55, 31 ביולי 2015 (IDT)

למה: אם $\,f$ אינטגרבילית בקטע $\,[a,b]$ אז גם $\,|f|$ אינטגרבילית שם.

הוכחה: יהי $\varepsilon >0$ נתון. תהי $P=\left\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\right\}$ חלוקה סופית של הקטע $\,[a,b]$ כך שמתקיים:

$U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$ (תנאי שקול לאינטגרביליות שנובע מלמת החתכים עבור סכומי דרבו).

נסמן: $M_{i}=\sup\{f(x)|x\in [x_{i-1},x_{i}]\}$, $m_{i}=\inf\{f(x)|x\in [x_{i-1},x_{i}]\}$

וכן: ${\hat {M}}_{i}=\sup\{|f(x)|:x\in [x_{i-1},x_{i}]\}$, ${\hat {m}}_{i}=\inf\{|f(x)|:x\in [x_{i-1},x_{i}]\}$.

מהגדרת החסם העליון והתחתון, ${\hat {M}}_{i}=\max \left\{\left|M_{i}\right|,\left|m_{i}\right|\right\}$ וכן: ${\hat {m}}_{i}=\min \left\{\left|M_{i}\right|,\left|m_{i}\right|\right\}$.

אם $\left|M_{i}\right|\geq \left|m_{i}\right|$, אזי מתקיים: (כאשר * נובע מא"ש המשולש ההפוך)

${\hat {M}}_{i}-{\hat {m}}_{i}={\underset {\geq 0}{\underbrace {\left|M_{i}\right|-\left|m_{i}\right|} }}=\left|\left|M_{i}\right|-\left|m_{i}\right|\right|{\stackrel {*}{\leq }}{\underset {\geq 0}{\underbrace {\left|M_{i}-m_{i}\right|} }}=M_{i}-m_{i}$

אם $\left|M_{i}\right|\leq \left|m_{i}\right|$ אזי מתקיים:

${\hat {M}}_{i}-{\hat {m}}_{i}={\underset {\geq 0}{\underbrace {\left|m_{i}\right|-\left|M_{i}\right|} }}=\left|\left|m_{i}\right|-\left|M_{i}\right|\right|{\stackrel {*}{\leq }}\left|m_{i}-M_{i}\right|={\underset {\geq 0}{\underbrace {\left|M_{i}-m_{i}\right|} }}=M_{i}-m_{i}$

ובכל מקרה הראינו כי: ${\hat {M}}_{i}-{\hat {m}}_{i}\leq M_{i}-m_{i}$ לכל תת-קטע $[x_{i-1},x_{i}]$ ולכן מתקיים:

$U(\left|f\right|,P)-L(\left|f\right|,P)=\sum _{i=1}^{n}({\hat {M}}_{i}-{\hat {m}}_{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})\leq \sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})=U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$

לכן, מהתנאי השקול לאינטגרביליות, $\left|f(x)\right|$ אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ , כנדרש. $\blacksquare$

המעבר האחרון לא ברור...

לא ברור איך הרחבנו את הערך המוחלט בסוף. הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
192.114.91.230 18:06, 29 ביוני 2017 (IDT)

עריכה: מצאתי הסבר מפורט כאן: https://math.stackexchange.com/questions/842739/triangle-inequality-for-integrals-with-complex-valued-integrand

בהזדמנות אכניס את זה לאתר... אם למישהו זה יותר אינטואיטיבי הוא הוא/היא מוזמנים לקבל את הכבוד.