שיחה:אינטגרל לבג

הצעה לשינוי קטן

לטעמי ההצגה הנוכחית של החלק העוסק בפונקציות פשוטות חיוביות הוא מסובך מדי שלא לצורך. הבעיה המרכזית בו הוא שהוא מתעלם מהצורה הפשוטה שבה ניתן להציג פונקציה פשוטה: אם $\ f$ מקבלת רק מספר סופי של ערכים, אז $\ f=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\chi _{A_{k}}$, כש-$\ \alpha _{k}$ הוא אחד מהערכים, $\ A_{k}$ הוא הקבוצה שעליו הוא מתקבל, ו-$\ \chi _{A_{k}}$ זה הסימון שאני משתמש בו לפונקציה מציינת.

עכשיו, את אינטגרל לבג של הפונקציה הזו אני אגדיר פשוט ככה: $\ \int f=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\mu (A_{k})$. אם רוצים להגביל את תחום האינטגרציה לקבוצה E, פשוט כופלים את $\ f$ בפונקציה $\ \chi _{E}$ ומחשבים את האינטגרל החדש שהתקבל.

אני חושב שדרך ההצגה הזו יותר פשוטה וברורה, מאשר הנוסחה הנוכחית שהיא מבלבלת למדי. מה דעתכם? גדי אלכסנדרוביץ' 08:30, 20 פברואר 2006 (UTC)

זו נוסחה אכן יותר פשוטה, אבל פחות קל לראות ממנה את הרעיון שבעצם מבצעים סכום רימן על פונקציה חדשה מ- f^(-1)Y ל R המתאימה לכל y את המידה של הקבוצה הנ"ל. אני אשלב גם את הצורה השנייה בטקסט, אך אין למחוק את מה שמופיע שם כעת. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 11:03, 20 פברואר 2006 (UTC)

טוב, אני לא חושב שהרעיון של אינטגרל לבג הוא שעושים אותו "הפוך" מאינטגרל רימן, אבל כדאי לתת למישהו עם הבנה עמוקה בתחום לשפוט מה הרעיון. מה שכן, אני חושב שהנסיון שביצעת לשילוב של התוספת שלי לערך צריך להיות בסדר הפוך - קודם מציגים את מה שפשוט יותר להבנה, ורק אחרי שהבנו אותו מציגים את הצורה היותר מסובכת לכתוב אותו, שבה גלום ה"רעיון". ברשותך אני אשנה את הערך כך ששתי הגישות יהיו בו, אבל בצורה שאני מקווה שתהיה ברורה יותר. גדי אלכסנדרוביץ' 14:56, 20 פברואר 2006 (UTC)

אוקיי, Give it a shot. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 15:00, 20 פברואר 2006 (UTC)

האמת שאחרי שגיליתי עוד טעות שעשיתי היום במבחן, החשק שלי להתקרב לתחום שואף לאפס, אבל אני אנסה מתישהו. גדי אלכסנדרוביץ' 15:12, 20 פברואר 2006 (UTC)

האנשים מתחלקים לשלוש קבוצות: אלה שיודעים לספור ואלה שלא

מתוך הערך:

אחרי תגלית זו נקטו המתמטיקאים שתי גישות לטיפול בבעיה:

  1. אפיון כל הפונקציות שעבורן כן קיים אינטגרל רימן (מחלקה זו של פונקציות נקראות פונקציות אינטגרביליות רימן).
  2. הגדרת אינטגרלים לא-נאותים (Improper Integral) באמצעות גבולות.
  3. ניסיון להכליל את האינטגרל עבור פונקציות "חלקות" פחות ו"בעייתיות" יותר.

האם זו טעות בספירה, או שהראשונה אינה אחת הגישות?

מישהו הוסיף את גישה 2 ושכח לעדכן. תיקנתי. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 16:32, 31 באוגוסט 2006 (IDT)

וגם - השם המקובל הוא אינטגרלים לא אמיתיים, לא? --יוחאי 01:24, 24 בנובמבר 2006 (IST)

איפה הטעות?

יש טעות בערך, אבל אני לא יודע איפה היא. בשביל לשים לב לטעות זו, צריך לחשב את אינטגרל לבג של $\int \limits _{0}^{1}{xdx}$. עפ"י הערך, מתקיים $\int \limits _{0}^{1}{xdx}=\sum \limits _{y\in {\text{Im}}\left(x\mapsto x\right)}{y\cdot m\left(\left(x\mapsto x\right)^{-1}\left(y\right)\cap \left[0,1\right]\right)}$, אולם, הקבוצה $\left(x\mapsto x\right)^{-1}\left(y\right)\cap \left[0,1\right]$ מכילה רק איבר אחד לכל היותר (שהוא y) ולכן מידתה היא 0, אולם מכך נובע שערכו של האינטגרל הוא 0, דבר שמביא לסתירה. --כרוז • שיחה 16:22, 18 בפברואר 2008 (IST)

שים לב שזה לא בדיוק סכום כי אתה סוכם על אינסוף רציף של מספרים ולכן הוא לא מוגדר היטב. את האינטגרל יש לחשב לפי ההגדרה: האינטגרל מוגדר ע"י גבול של פונקציות פשוטות, כלומר: פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, ואז לכל ערך y יש קבוצה בעלת מידה סופית שונה מאפס וערך המכפלה הוא לא אפס, כשלוקחים את הגבול זה מתכנס בחזרה לערך של אינטגרל רימן במקרה זה (כי f(x)=x אינטגרבילית רימן). בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 16:36, 27 במרץ 2010 (IDT)

טעות בערך

"פונקציה פשוטה היא פונקציה שמקבלת מספר סופי של ערכים, כלומר, הטווח שלה הוא קבוצה סופית. אפשר להראות שכל פונקציה פשוטה היא פונקציה מדידה."

לא ברור לי מאיפה הגיעו לזה. אם A היא קבוצה לא מדידה לבג (יש כזו, כי אנחנו כולנו מאמינים באקסיומת הבחירה), אז הפונקציה המציינת של A היא פונקציה פשוטה לא מדידה. בגישה שאני מכיר, כל פונקציה פשוטה היא צירוף לינארי (כאשר המקדמים נלקחים ב- $\mathbb {R} \smallsetminus \{0\}$) של פונקציות מציינות, והיא מדידה אם ורק אם כל הפונקציות המציינות הללו הן מדידות, מה שקורה אם ורק אם הקבוצות הקבוצות המיוחסות לפונקציות מציינות אלה הן מדידות. TUCG - שיחה 04:15, 10 באוקטובר 2008 (IST)

תיקנתי. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 17:29, 27 במרץ 2010 (IDT)

מצומצם מידי

הערך עוסק באינטגרל לבג לפי מידת לבג בלבד. זאת למרות שרוב מה שכתוב בו רלוונטי לאינטגרל לבג לפי כל מידה. דניאל • תרמו ערך 17:56, 21 ביולי 2012 (IDT)