צירוף אפיני

במתמטיקה, צירוף אפיני של וקטורים x₁, ..., x_n הוא צירוף ליניארי

$\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}$

שבו סכום המקדמים הוא 1, כלומר:

$\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1$.

הווקטורים משוכנים במרחב וקטורי V מעל שדה K; והמקדמים $\alpha _{i}$ הם סקלרים ב-K.

מושג זה חשוב בגאומטריה אוקלידית.

בהינתן העתקה אפינית, כל צירוף אפיני של נקודות שבת של ההעתקה גם הוא נקודת שבת של ההעתקה, לכן נקודות השבת יוצרות מרחב אפיני (בתלת-ממד: קו, מישור והמקרה הטריוויאלי של נקודה והמישור כולו).

מוטיבציה

נניח שיש אי ודאות בנקודת הראשית במרחב מסוים ואנו חושבים שזאת נקודה p (אך למעשה זו נקודה אחרת). נניח שרוצים לחבר שתי נקודות: a ו-b. נמתח קו מנקודה p לנקודה a, קו נוסף מנקודה p לנקודה b וניעזר בכלל המקבילית למצוא את נקודה a+b לפי הנחתנו לגבי הראשית. למעשה קיבלנו את הנקודה p + (a − p) + (b − p). באופן דומה נוכל ליצור צירוף ליניארי של a ו-b או של כל קבוצה סופית של וקטורים. לרוב, נקבל תשובה שגויה (בגלל ההנחה לגבי הראשית), אולם אם סכום המקדמים של הצירוף הליניארי הוא 1 התשובה תהיה נכונה.

תיאור ההוכחה: נניח $x$ הוא תוצאת צירוף אפיני של וקטורים $x_{i}$ עם מקדמים $\alpha _{i}$. באופן דומה $x'$ הוא צירוף אפיני עם אותם מקדמים, של הווקטורים המוזזים $x'_{i}=x_{i}-p$, אזי:

$x'=p+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot \left(x_{i}-p\right)}=p+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}-(\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}})\cdot p=p+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}-p=x$