פסאודוספירה

פסאודוספירה הוא מונח בגאומטריה לתיאור מגוון משטחים עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה, כלומר דמויי "אוכף" בכל מקום. הפסאודוספירה זכתה לשמה משום שהיא ממלאה בגאומטריה ההיפרבולית תפקיד דומה לזה שממלא הכדור בגאומטריה אליפטית (לכדור יש עקמומיות גאוס חיובית קבועה).

הפסאודוספירה התאורטית

במובן הכללי ביותר שלה, הפסאודוספירה עם רדיוס R הוא כל משטח עם עקמומיות גאוס $-{\frac {1}{R^{2}}}$, באנלוגיה לכדור עם רדיוס R, שהוא משטח עם עקמומיות ${\frac {1}{R^{2}}}$. המונח נטבע על ידי אאוג'ניו בלטראמי במאמרו מ-1868 על מודלים של גאומטריה היפרבולית.

טרקטריקויד

טרקטריקויד.

המונח "פסאודוספירה" מתייחס למשטח מסוים שנקרא טרקטריקויד: שנוצר על ידי סיבוב עקום הטרקטריקס מסביב לאסימפטוטה שלו. כדוגמה, חצי הפסאודוספירה (עם רדיוס 1) הוא משטח סיבוב שניתן להצגה פרמטרית באופן הבא:

$t\mapsto \left(t-\tanh {t},\operatorname {sech} \,{t}\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .$

זהו משטח עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה ולכן הוא איזומטרי מקומית למישור ההיפרבולי.

תכונות הפסאודוספירה

• שטח הפנים הכולל של פסאודוספירה "מנורמלת" (בעלת עקמומיות גאוס קבועה 1-) הוא $4\pi$; בדיוק כמו שטח הפנים של ספירה עם עקמומיות גאוס 1+. ניתן להסביר תוצאה זאת כמסקנה מיידית ממשפט גאוס-בונה: אם נסתכל על כל אחת ממחציות הפסאודוספירה ונמתח מכל נקודה על שפת הדיסקה המרכזית מסילה גאודזית בכיוון מרכז הדיסקה, יתקבלו אינסוף רצועות פסאודוספיריות המהוות למעשה משולשים גאודזיים אינפיניטסימליים, והמגרעת הזוויתית של משולשים אלו יחסית לשטחם (על פי משפט גאוס-בונה). מכיוון ששתיים מצלעותיו של כל משולש כזה "נפגשות באינסוף", זווית אחת בכל משולש כזה היא בדיוק 0 מעלות, בעוד ששתי הזוויות האחרות מסתכמות ל-$\pi -\epsilon$ כאשר $\epsilon$ היא הזווית המרכזית המתאימה לקשת המעגל (האינפיניטסימלית) המחברת בין שתי נקודות סמוכות על שפת הדיסקה המרכזית. לפיכך, המגרעת הזוויתית הכוללת של כל המשולשים הללו היא כגודל הזווית המרכזית של מעגל שלם - $2\pi$, וזהו גם שטחה של מחצית הפסאודוספירה. את אותו התהליך ניתן להפעיל באופן דומה על מחצית ספירת יחידה כדי לקבל הוכחה מגאומטריה דיפרנציאלית לכך ששטחה $2\pi$; ההבדל הקונספטואלי בין המקרה הספירי למקרה הפסאודוספירי הוא שבראשון הגיאודזות נפגשות לאחר מרחק סופי (בקטבים של הכדור) בעוד שבמקרה השני הן נפגשות רק "באינסוף". באופן כללי יותר, שטח הפנים הכולל של פסאודוספירה עם רדיוס R הוא $4\pi R^{2}$, בדומה לכדור עם רדיוס R.

• נפח הפסאודוספירה הוא ${\frac {2}{3}}\pi R^{3}$, כמחצית מנפח כדור עם רדיוס R.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פסאודוספירה בוויקישיתוף

• פסאודוספירה, באתר MathWorld (באנגלית)