עקב צפיפות האוכלוסין, הוחלט בכפר קטן שכל משפחה שזכתה לבן זכר תפסיק ללדת. בהנחה שהסיכויים להולדת בן ובת שווים, האם בכפר יהיו יותר בנות מבנים או יותר בנים מבנות?
פתרון
כמו חידות רבות וטובות, לחידה הזאת ישנו פתרון אחד המסתמך על הדרך שבה מלמדים אותנו לפתור שאלות בהסתברות, אבל יש גם פתרון קל ופשוט.
הפתרון הארוך: עלינו לחשב את תוחלת למספר הבנים ולמספר הבנות לכל משפחה. תוחלת מספר הבנים היא 1, ותוחלת מספר הבנות נתונה באופן הבא: יש סיכוי של 1/2 שבהריון הראשון יוולד בן ולכן יהיו 0 בנות, סיכוי של 1/4 שבהריון השני יתקבל בן ואזי תהיה בת אחד, סיכוי של 1/8 לשתי בנות, של 1/16 לשלוש בנות וכך הלאה. באופן כללי תוחלת מספר הבנות היא הסדרה:
זאת חידה נחמדה בפני עצמה להוכיח שהסדרה הזאת אכן מתכנסת, והיא מתכנסת למספר 1.
כל אחת מהשורות היא טור הנדסי, והסכומים של השורות הם 1/2+1/4+1/8+....=1. באופן פורמלי אפשר לכתוב את זה כך:
מכאן שיהיו אותו מספר בנים ובנות בכפר.
הפתרון הקל יותר: כל לידה הינה בלתי תלויה בלידות הקודמות, והתוצאה שלה אינה קשורה למנגנון הקובע איזה לידות תתממשנה. מכיוון שבכל לידה שהיא בכפר הסיכוי הוא 1/2 לקבל בן או בת, יהיו בכפר אותו מספר בנים ובנות.
