100 עשירים קנאים רצו להוכיח את שהם נדיבים יותר איש מרעהו. העשיר הראשון תרם מטבע של מיליון שקל לצדקה, השני הניח ליד המטבע של הראשון ערמה של שני מטבעות (מיליון שקל כל אחד), השלישי הניח לידם ערמה של 3 מטבעות וכן הלאה. לאחר שנאסף כל הכסף הופיע גנב ולקח מטבע אקראי אחד, מתוך אחת הערמות וברח משום ששמו לב לנוכחותו. מה הסיכוי שהמטבע שנגנב היה מהערמה של האיש העשיר ביותר (הערמה עם 100 המטבעות)?
פתרון
התשובה תלויה במנגנון הבחירה האקראית של הגנב, כאשר לפנינו שתי אפשרויות:
א. הגנב בוחר באקראי ערימה מתוך מאה הערימות, ומתוכה בוחר באקראי מטבע.
ב. הגנב מתייחס לכל המטבעות כאל אוסף אחיד, ובוחר מטבע מבין כל המטבעות שבאוסף זה.
בשיטה הראשונה, ההסתברות שנבחרה הערימה של האיש העשיר ביותר היא , כלומר אחוז אחד.
בשיטה השנייה, ההסתברות שנבחר מטבע של האיש העשיר ביותר שווה למספר המטבעות שתרם האיש העשיר ביותר, 100, לחלק במספר המטבעות הכללי שהונח. כדי לחשב מספר זה אפשר להשתמש בשיטה לסכום טור חשבוני זה שעל פי המסופר גילה קרל פרידריך גאוס עוד בהיותו בן 7. גאוס גילה שעל מנת לחבר את כל המספרים מאחד עד מאה, אפשר לחלק אותם לזוגות: 100+1, 99+2, 98+3, וכן הלאה. הסכום בכל זוג הוא 101 וסה"כ ישנם 50 זוגות כאלו, ולכן סכום כל המספרים בין 1 ל-100 הוא 101x50. מכאן שהסיכוי שהמטבע שנגנב נתרם על ידי האיש הנדיב ביותר הוא:
כלומר קצת פחות מ-2 אחוז.
