1. מגרילים מספר טבעי באקראי, באופן שלכל מספר טבעי מ-1 עד n יש סיכוי זהה להיבחר, ו-n שואף לאינסוף. מה הסיכוי שהמספר שייבחר יתחלק ב-6, כאשר ידוע (מבצע ההגרלה מיידע את הצופים) שהוא לא מתחלק ב-15? האם הסיכוי יהיה קטן או גדול מ-1/6?
2. מגרילים מספר טבעי באקראי, בדומה לסעיף הקודם. מה הסיכוי שהמספר שייבחר יתחלק ב-a, כאשר ידוע שהוא לא מתחלק ב-b? מצא נוסחה כללית, כאשר כמובן ש-a ו-b לא בהכרח זרים.
פתרון
1. ראשית ברור שהסיכוי יהיה קטן מ-1/6, שכן ל-15 ו-6 גורם משותף והוא 3, כך שברגע שנודע שהמספר לא מתחלק ב-15, ירדה כפולה אפשרית של 3 מרשימת המספרים האפשריים, כך שיש קבוצת מספרים פוטנציאלית מצומצמת יותר המתחלקת ב-6. כעת ננסה לכמת זאת. המספרים היחידים שמתחלקים ב-6 שגם מתחלקים ב-15 (ולכן ירדו מההגרלה) הם כפולות של 30. לכן על מנת לפתור את השאלה, מספיק לחשוב מודולו 30. ולחשב מה החלק היחסי של המספרים שמתחלקים ב-6 מכלל המספרים מ-1 עד 30 שלא מתחלקים ב-15. ישנן בדיוק 4 כפולות של 6 (6,12,18,24), שכן אסור לכלול את 30, ו-28 מספרים אפשריים (מורידים את 15 ו-30), לכן הסיכוי הוא 1/7 = 4/28.
2. ניתן להראות שבדומה למקרה שבסעיף הראשון, צריך לחשוב מודולו הכפולה המשותפת המינימלית של a ו-b. מנוסחת ההסתברות המותנית
נקבל שההסתברות המבוקשת שווה להסתברות לקבל בהגרלה מספר שמתחלק ב-a אך לא מתחלק ב-b, חלקי ההסתברות לקבל מספר שלא מתחלק ב-b. ניתן להראות שהתוצאה היא:
. כאן הוא הכפולה המשותפת המינימלית (least common multiple) של a ו-b. בפרט, ניתן לקבל שכש-a ו-b זרים, אז והסיכוי לא משתנה בכלל - הוא נשאר .
