מתמטיקאי מקבל שני כדורי בדולח בכניסה לבניין שגובהו 100 קומות. הוא רשאי לצאת מהבניין רק כאשר תהיה לו תשובה לשאלה: "מאיזו קומה ומעלה יישברו כדורי הבדולח, אם נזרוק אותם מהחלון? (ייתכן שכבר בקומה הראשונה, וייתכן שאף לא בקומה האחרונה)". הוא יכול להשליך את הכדורים מהבניין, וכל עוד הם לא נשברים, הוא יכול לרדת ולקבלם בחזרה - כלומר באפשרותו לבצע מספר לא מוגבל של זריקות, אך מותר שרק פעמיים יישבר לו כדור (ברשותו שני כדורים בלבד). איך הוא יעשה זאת במספר מינימלי של זריקות?
פתרון
ברור שעלינו לחלק את 100 הקומות לקבוצות עוקבות באופן האופטימלי. אם הוא גילה בעזרת k זריקות שכדור בדולח נשבר לא נשבר עד הקומה ה-n אולם נשבר מהקומה ה-m (כך ש-m>n), אזי יישאר לו כדור אחד ו-m - n -1 זריקות כדי לענות על השאלה (נשאר לו כדור אחד ולכן הוא אינו יכול "לדלג" יותר; הוא חייב לבדוק את הקומות בין n ל-m אחת אחת). סה"כ יידרשו לו k + m - n - 1 (נסמן את הסכום ב-K) זריקות. הרעיון הוא שבאסטרטגיה האופטימלית, החלוקה של 100 הקומות לקבוצות בדיקה עוקבות צריכה להיות כזאת שגודל הקבוצה ועוד המספר הסידורי של הקבוצה צריך להיות קבוע, כך שמספר הזריקות שצריך יישאר קבוע ללא קשר למיקום נקודת השבירה, משום שרק כך נקבל שבמקרה הגרוע ביותר יידרשו K זריקות כדי לענות על השאלה. דרך אחרת להבין זאת היא באמצעות הצמדת ערך לכל אפשרות של מקרה גרוע ביותר (המקרה הגרוע ביותר הוא תמיד זה שבו אם מגלים הכדור נשבר בקומה ה-m, אז בפועל הוא נשבר החל מהקומה ה-m-1) ששווה למספר הזריקות שצריך כדי לגלות את הקומה באותו מקרה. אם חלוקת הקבוצות נעשית בצורה לא אחידה, אז יהיו אפשרויות בהן יהיה אפשר לגלות את נקודת השבירה בעזרת מספר זריקות נמוך מ-, אולם עדיין במקרה הגרוע ביותר נקבל מספר זריקות שגדול מה-K המינימלי. אם כך, כיוון שהמספר הסידורי של קבוצה גדל ב-1 מקבוצה לקבוצה הבאה אחריה, גודל הקבוצה צריך לקטון ב-1 בין כל שתי קבוצות עוקבות. לכן האסטרטגיה האופטימלית היא בחירת קבוצות שגדליהן מהווים סדרה חשבונית. מכיוון שהאורך המינימלי שלהסדרה החשבונית המתחילה ב-1 ובעלת הפרש 1 שמקיימת שסכומה גדול מ-100 הוא d = 14 נקבל שיידרשו 14 זריקות. כלומר יש בתחילה ללכת לקומה 14, לאחר מכן לקומה 27, לקומה 39 וכן הלאה. באופן הכללי ביותר כשיש בניין עם N קומות, יידרשו בקירוב זריקות.
