נתונים n מספרים: , שכל אחד מהם שווה ל-1 או ל-1-. נתון ש: . הוכח ש-n מתחלק ב-4.
פתרון
1. נסתכל על הביטוי הזה כאשר מציבים במשתנים 1 או 1- כרצוננו (כך שהוא לאו דווקא שווה ל-0). נשים לב שהערך שלו מודולו 4 נשמר כי אם נשנה את אחד המשתנים, שני ביטויים ישתנו, כך שהסכום יעלה ב-4, ירד ב-4, או לא ישתנה כלל.
בנתון אומרים לנו שהביטוי שווה ל-0, ולכן כל הצבה אחרת תתן מספר המתחלק ב-4 (0 מודולו 4) כיוון שאם נציב בכולם 1 נקבל n, n מתחלק ב-4.
2. ראשית נשים לב ש-n זוגי, כי כל אחד מהמחוברים שווה 1 או 1- וסכומם 0, ולכן יש כמות שווה מכל אחד. עכשיו נראה ש-1- מתקבל תמיד על ידי הכפלה של אחד במינוס אחד. אם נסתכל בזוגות אחד אחד מימין לשמאל, נראה שאחרי כל הכפלה חייבת לבוא הכפלה , ולכן מספרן שווה. מכאן שיש מספר זוגי של 1-, ואותו מספר של 1, ולכן המספר הכללי, כלומר n, מתחלק ב-4.
