פונקטור נגזר

במתמטיקה, ניתן לגזור פונקטורים מסוימים על מנת לקבל פונקטורים אחרים הקשורים לפונקטור המקורי. בעוד שפעולה זו מופשטת מאוד, היא מקשרת מספר בניות במתמטיקה.

מוטיבציה

נביא מספר דוגמאות מאלגברה הומולוגית, הממחישות את הצורך בפונקטורים נגזרים.

נתבונן בפונקטור $T_{A}:R\operatorname {-mod} \to R\operatorname {-mod}$ (כאשר $R\operatorname {-mod}$ היא קטגוריית המודולים מעל החוג החילופי $R$) המוגדר באמצעות: $T_{A}(B)=A\otimes B$. כידוע, זהו פונקטור מדויק מימין, כלומר - בהינתן סדרה מדויקת קצרה $0\to L\to M\to K\to 0$, הפנקטור $T_{A}$ משרה לנו את הסדרה המדויקת:

$A\otimes _{R}K\to A\otimes _{R}L\to A\otimes _{R}M\to 0$

שאלה טבעית שעולה כעת היא כיצד ניתן להמשיך את הסדרה משמאל, כך שתתקבל סדרה מדויקת ארוכה? התשובה לשאלה זו ניתנת על ידי הפונקטור הנגזר השמאלי של $T_{A}$, שמסומן $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,-)$ לכל $1\leq i$ וממשיך את הסדרה בצורה הבא: $\cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(A,M)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(A,K)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(A,L)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(A,M)\to A\otimes _{R}K\to A\otimes _{R}L\to A\otimes _{R}M\to 0,$

את הבנייה הזו ניתן להכליל לכל פונקטור מדויק מעל כל קטגוריה אבלית שמקיימת תנאי מסוים.

קישורים חיצוניים

• פונקטור נגזר, באתר MathWorld (באנגלית)