פוטנציאל מעוכב

באלקטרודינמיקה, פוטנציאלים מעוכבים (retarded potentials) הם פוטנציאלים אלקטרומגנטיים בשדה אלקטרומגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי משתנה בזמן או צפיפות מטען משתנה בזמן - בעבר.

השדות מתפשטים במהירות האור c, ולכן ההשהיה של השדות המחברים סיבה ותוצאה בזמנים מוקדמים ומאוחרים הוא גורם חשוב: לאות לוקח זמן סופי להתפשט מנקודה בתוך התפלגות המטען או הזרם (נקודת ה"סיבה") לנקודה אחרת במרחב (שם ההשפעה נמדדת), ראו איור למטה.

בכיול לורנץ

מיקום הווקטורים r ו- r ′ המשמשים בחישוב.

נקודת המוצא היא משוואות מקסוול בגישת שדה הפוטנציאל שלהן, בעזרת כיול לורנץ:

$\Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}$

כאשר φ( r, t ) הוא הפוטנציאל החשמלי ו- A ( r, t ) הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, עבור מקור שרירותי של צפיפות המטען ρ( r, t ) וצפיפות הזרם J ( r, t ), וכן $\Box$ הוא הד'אלמבריאן. פתרון משוואות אלו נותן את הפוטנציאלים המעוכבים למטה (כולם ביחידות SI).

עבור שדות תלויי זמן

עבור שדות תלויי זמן, הפוטנציאלים המעוכבים הם:

$\mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.$

כאשר r הוא נקודה במרחב, t הוא הזמן, ו-

$t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$

הוא הזמן המעוכב, ו-$d^{3}\mathbf {r'}$ הוא גורם האינטגרציה לפי $\mathbf {r'}$ .

מ-φ( r, t) ו- A ( r, t ), ניתן לחשב את השדות E ( r, t ) ו- B ( r, t ) באמצעות הגדרת הפוטנציאלים:

$-\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.$

השוואה לפוטנציאלים סטטיים עבור שדות בלתי-תלויים בזמן

במקרה שהשדות אינם תלויי זמן (שדות אלקטרוסטטיים ומגנטוסטטיים), נגזרות הזמן של האופרטור $\Box$ מתאפסות, והמשוואות של מקסוול מצטמצמות ל:

$\nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,$

כאשר $\nabla ^{2}$ הוא הלפלסיאן.

המשוואות מקבלות צורה של משוואות פואסון בארבעה רכיבים (אחד עבור φ ושלושה עבור A), והפתרונות שלהן הם:

$\mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.$

אלה גם נובעים ישירות מהפוטנציאלים המעוכבים.

פוטנציאל ליאנארד-ויקרט

במקרה הפרטי שבו השדה החשמלי נגרם עקב מטען נקודתי בודד שמסלולו $\mathbf {r_{s}} (t)$, הפוטנציאלים המעוכבים המתקבלים בכיול לורנץ הם פוטנציאלי ליאנארד-ויקרט, על שמם של אלפרד-מארי לינארד ואמיל ויקרט. פוטנציאלים אלו הם:

$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot \mathbf {\beta } _{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q\mathbf {\beta } _{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot \mathbf {\beta } _{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}$

זאת כאשר:

• $\mathbf {\beta } _{s}={\frac {1}{c}}{\frac {d\mathbf {r} _{s}}{dt}}$ היא מהירות המטען המנורמלת למהירות האור
• $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|$ הוא המרחק בין נקודת המדידה של הפוטנציאל לבין מיקום המקור
• $\mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}$ הוא וקטור היחידה המקשר מהמקור אל נקודת המדידה
• הסימן $(...)_{t_{r}}$ משמעותו חישוב הערך שבתוך הסוגריים בזמן המעוכב $t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|$

נשים לב שכדי למצוא את הזמן המעוכב עלינו לפתור את המשוואה:

$|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|=c(t-t_{r})$

בכיול קולון

בכיול קולון, משוואות מקסוול הן

$\nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,$

הפתרונות המתקבלים בכיול זה שונים מהפתרונות המתקבלים בכיול לורנץ מכיוון ש-A הוא פוטנציאל מעוכב אך φ משתנה באופן מיידי, לפי:

$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.$

התוצאה מציגה יתרון וחיסרון של כיול קולון: φ ניתן לחישוב בקלות מהתפלגות המטען ρ אך לא ניתן לחשב את A מההתפלגות הנוכחית j. עם זאת, בתנאי שאנו דורשים שהפוטנציאלים יתאפסו באינסוף, הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה מסודרת במונחים של השדות:

$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

בכבידה ליניארית

הפוטנציאל המעוכב בגרסה הליניארית של תורת היחסות הכללית דומה מאוד למקרה האלקטרומגנטי. הטנזור בעל העקבה ההפוכה ${\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h$ ממלא את התפקיד של פוטנציאל ארבעת הווקטורים, הכיול ההרמוני ${\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ מחליף את כיול לורנץ האלקטרומגנטי, משוואות השדה הן $\Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu }$, ופתרון הגל המעוכב הוא:

${\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$.

ראו גם

• משוואות מקסוול
• זמן מאוחר
• חוק לנץ