עקרון המקסימום

הגרף של $|\cos(z)|$ בעיגול היחידה. ניתן לראות שאין מקסימום מקומי בפנים המעגל ושהמקסימום מתקבל על השפה.

באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם $f$ פונקציה הולומורפית בתחום $D$ וקיים $z\in D$ שהוא מקסימום מקומי של $|f|$ אז $f$ קבועה.

בנוסח שקול, אם $f$ רציפה בקבוצה קומפקטית ${\bar {D}}$, והולומורפית בפנים שלה, אזי המקסימום של $|f|$ ב-${\bar {D}}$ מתקבל על השפה $\partial {\bar {D}}$.

הוכחה

יהי $z_{0}\in D$ מקסימום מקומי של $|f|$. לכן קיים $R>0$ קטן מספיק כך שבעיגול $|z-z_{0}|<R$ מתקיים כי $f$ הולומורפית ו-$z_{0}$ מקסימום מוחלט של $|f|$.

יהי $0\leq r<R$. לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{\theta i})d\theta$

לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

${\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}\leq {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}d\theta \leq {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0})|d\theta ={\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}$

זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים המתחילה ומסתיימת באותו מספר, ועל כן כולם שוויונות. לכן:

$(*)\qquad \int \limits _{0}^{2\pi }{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}d\theta =\int \limits _{0}^{2\pi }{\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}d\theta$

נגדיר $g(x)=\int \limits _{0}^{x}{\bigl (}{\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}-{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}{\bigr )}d\theta$ בקטע $[0,2\pi ]$. $g$ עולה חלש, שכן מהמקסימליות של ${\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}$:

$g'(\theta )={\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}-{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}\geq 0$

אולם מ-$(*)$ נובע כי $g(0)=g(2\pi )=0$, ולכן $g(x)=0$ לכל $x\in [0,2\pi ]$. מכאן $g'(\theta )=0$ לכל $x\in [0,2\pi ]$, כלומר:

${\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}={\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}$

קיבלנו כי $|f|$ קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם $f$ קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע כי $f$ קבועה בכל התחום.

עקרון המקסימום לפונקציה הרמונית

ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה $u(x,y)=x$ עם ${\bigl \{}(x,y):x^{2}+y^{2}<1{\bigr \}}$ שווה זהותית לאפס על $\{0\}\times (0,1)$ אך איננה קבועה).

ראשית ננסח גרסה נקודתית:

משפט – אם $u$ פונקציה הרמונית בתחום $\Omega$, ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה $z_{0}\in \Omega$, אזי היא קבועה בסביבת $z_{0}$.

הגרסה הכללית היא:

משפט – אם $u$ הרמונית בתחום חסום $\Omega$, ורציפה בשפה $\partial \Omega$, אזי: אם קיימת $z_{0}\in \Omega$ כאשר $\max _{z\,\in \,{\overline {\Omega }}}{u(z)}=u(z_{0})$ אזי היא קבועה ב-$\Omega$.

במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.

למשל, אם $f$ פונקציה שלמה ומתקיים $\forall |z|=1:f(z)\in \mathbb {R}$, אז $f$ קבועה, משום שמתקיים $\forall |z|=1:{\rm {Im}}(f(z))=0$ ולפי עקרון המקסימום $\forall |z|\leq 1:{\rm {Im}}(f(z))=0$, ואז הפונקציה $e^{if(z)}:D\to \{|z|=1\}$ איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם $f$ קבועה.

קישורים חיצוניים

• עקרון המקסימום, באתר MathWorld (באנגלית)