משתמש:Yotbar/משוואת החום

תצוגה גרפית לפתרון משוואת הולכת החום בממד אחד. (לחצו כאן לאנימציה)

משוואת החום (או משוואת הולכת החום) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, המתארת את האופן שבו זורם חום בגוף מרחבי לאורך זמן. המשוואה הוצגה לראשונה על ידי ז'אן בטיסט ז'וזף פורייה בתחילת המאה ה-19. המשוואה נקראת גם משוואת הדיפוזיה שכן היא מתארת באופן כללי פעפוע של חומר בזמן ובמרחב.

הגדרה

בצורתה המלאה, המשוואה נכתבת כך:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigg (}k(u,{\vec {r}})\,\nabla u({\vec {r}},t){\bigg )}$, כאשר:

• $\,u$ - פילוג החומר (או הטמפרטורה) במרחב ובזמן
• $\,t$ - הזמן
• $\,k$ - מקדם הדיפוזיה של החומר
• $\,{\vec {r}}$ - וקטור המתאר מקום במרחב.

בדרך כלל מתייחסים למקדם הדיפוזיה כאל קבוע, ואז אפשר לכתוב:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=k\nabla ^{2}u({\vec {r}},t),$

במערכת צירים קרטזית משוואת הולכת החום

${\partial u \over \partial t}=c\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\quad$

כאשר $\ u=u(x,y,z)$ היא פונקציית הטמפרטורה, ו- k הוא מקדם הולכת החום של החומר.

משוואת החום בממד אחד

אחרי שגילנו ש $\ {\frac {dT}{dt}}=c\,{\delta }T$ שווה ל $\ T(t)=e^{-ct}$ עכשיו אנחנו יכולים להתמודד עם הבעיה של גילוי הטמפ' בכל מקום ובכל זמן בתוך גוף. לצורך העניין נסתכל על גוף שיש בו רק ציר אחד כלומר: צינור ארוך שמבודד לחלוטין מצדדיו. קצוות הצינור מוחזקים בטמפ' קבועה של 0 מעלות צלזיוס. בתחילת הניסוי הטמפ' בכל נקודה בצינור מיוצגת ע"י הגרף שמצורף מעליו. כלומר פונקציה כלשהי של $\ T_{0}$ אנחנו מחפשים את הטמפרטורה בכל מקום בכל זמן. עלינו להגיע למשוואה דיפרנציאלית שתתאר את השינוי בטמפ'.כדי לעשות זאת נחלק את הצינור בדמיוננו לאינספור פרוסות דקות מאוד (ברוחב dX ) כך שבכל פרוסה הטמפ' יכולה להיחשב כאחידה.

נסתכל על מיקום מסוים X. הטמפ' בפרוסה זו היא $\ T(X)$ והטמפ' הזו תשתנה בגלל שבסביבה ישנן שתי פרוסות שהטמפ' בהן שונה. אחת היא הפרוסה שמיקומה $\ X+dX$ והטמפ' שלה: $\ T(t+dx)$ והשניה שמיקומה $\ x-dx$ והטמפ' בה $\ T(x-dx)$. קצב השינוי של הטמפ' תלוי בהפרשים של $\ T(x+dx)-T(x)$ (הנגזרת) ו$\ T(x-dx)-T(x)$ הפרשים אלה קשורים לנגזרת של T לפי X $\ {\frac {dT}{dx}}=\ {\frac {T(x+dx)-T(x)}{dx}}$ ו$\ {\frac {dT}{dx}}=\ {\frac {T(x-dx)-T(x)}{dx}}$ למי שלא יודע זוהי הגדרת הנגזרת של T לפי X כאשר השתמשתי בסימן + כדי לייצג את הנגזרת בקצה הימני של הפרוסה ובסימן – כדי לייצג את הנגזרת בקצה השמאלי של הפרוסה.

כדי להבין זאת יותר טוב יש להסתכל על גרף הטמפ' לפי המקום: נבחר נקודה על הגרף. נסמן אותה X. הנגזרת שסימנו ב + מייצגת את שיפוע הגרף בכיוון ימינה מהנקודה וזו שסימנו ב – את שיפוע הגרף בכיוון שמאלה מהנקודה. שימו לב שהם הפוכים: אם כשהולכים ימינה הטמפ' יורדת אז כשהולכים שמאלה הטמפ' עולה. כלומר: הטמפ' בפרוסה x תגדל בגלל שבצד אחד שלה הטמפ' חמה יותר אבל תקטן בגלל שבצד השני הטמפ' קרה יותר. לכן השינוי בטמפ' בסופו של דבר יהיה תלוי בהפרש שבין הנגזרת מצד אחד לנגזרת מהצד השני:$\ {\frac {dT}{dx}}=\ {\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}$ כלומר לקצב השינוי של הנגזרת כשזזים קצת ב X או במילים אחרות לנגזרת של הנגזרת. קיבלנו אם כן שקצב השינוי של הטמפ' בכל נקודה פרופורציוני לנגזרת השניה של הטמפ' לפי המקום בנקודה זו. מתמטית נייצג זאת כך:

$\ {\frac {dT}{dt}}=\ c{\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}$ זוהי משוואה דיפרנציאלית שכוללת נגזרות לפי שני משתנים שונים. כשגוזרים פונקציה של כמה משתנים כל פעם לפי חלק ממשתניה הנגזרות נקראות 'נגזרות חלקיות' ולכן משוואה כזו מכונה 'משוואה דיפרנציאלית חלקית'.

פתרון לצינור באורך פאי

קודם עלינו לפתור משוואה של גוף חד ממדי לפני שנעבור לדו ממדי ותלת ממדי. נתון צינור באורך פאי. הטמפ' בקצוות שלו היא 0 מעלות. ו $\ T_{0}=30$ מעלות. עכשיו אנחנו צריכים לחפש איזושהיא פונקצייה שבנקודה-0 ובנקודה $\ \pi$ שווה ל-0.(כמו נתוני הקצה בצינור...) הפונקצייה אשר תתאר מצב זה היא פונקציית הסינוס. כיוון שבפאי וב0 היא מתאפסת. חילקנו קודם את הצינור לdxים קטנים, שבכל אחד מהם הטמפ' כרגע היא 30 מעלות. אחנו צריכים לסכום את הטמפ' בכל הצינור. הפעולה שעושה זאת היא אינטגראל. את האינטגראל אנו עושים לפי אורך הצינור (מאפס עד פאי). לפי טור פורייה, כל פונקצייה מחזורית ניתן להציג כסכום של פונקציות סינוס וקוסינוס שארכי הגל שלהם הם שברים שלמים של אורך הגל של הפונקצייה המקורית. לכן משוואת החום החדשה היא: $\ A_{n}\,e^{-cn^{2}t}\,Sin(nx)$ קודם כל, ה $\ A_{n}=\ A_{1}+\ A_{2}+\ A_{3}...\ lim_{A\to \infty }$

• כשA מייצג את מכפלת הסיונסים\קוסינוסים.

לכן תיאורטית לא ניתן להגיע לפונ' המדויקת אלא לטמפ' אשר שואפת לפונקצייה זו כמו סדרה מתכנסת.

כעת נעשה אינטרגראל מ0 עד פאי. הסיבה לכך היא שכאשר נציב בסינוס(ב-X) פאי או 0 יצא לנו כפולה של פאי או 0 שהסינוס שלהם הוא 0 ומקיים את תנאי הקצה.

נכפיל את הצינור בשתיים (אפשר לעשות זאת לפי משפט פורייה) במקום זאת, פשוט נחלק את אורך הצינור ב2. זאתי הנוסחא הכללית (כשאורך הצינור הוא פאי)

$\ {\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\,\ T_{0}\,Sin(nx)\,dx$

וכעת נחזור לתרגיל: $\ {\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\,\ 30\,Sin(nx)\,dx$ בגלל ש30 קבוע, ניתן להוציאו מחוץ לאינטגראל ולכפול אותו בשתיים חלקי פאי. $\ {\frac {60}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\,\ Sin(nx)\,dx$ האינטגראל של Sin הוא Cos-. $\ {\frac {60}{\pi }}\,\ {\frac {-Cos(nx)}{n}}$ כעת נציב פאי ואז ם (גבולות האינטגראל) $\sum _{0}^{\pi }{\frac {60}{\pi }}\,\ {\frac {-Cos(nx)}{n}}$

מה שיוצא לאחר ההצבה הוא:

$\ {\frac {60}{\pi }}\,[\ {\frac {-Cos({\pi }x)}{n}}]-\ {\frac {60}{\pi }}\,[\ {\frac {-Cos(0)}{n}}]$ למשוואה זו יש שתי פתרונות-כשN זוגי וכN אי זוגי. כאשר N זוגי $\ N_{even}=0$ אם תציבו מספר זוגי בN תגלו זאת.

כאשר N אי זוגי $\ N_{odd}=\ {\frac {60}{\pi }}\,[{\frac {-Cos{\pi }}{1}}+{\frac {cos0}{1}}]={\frac {120}{\pi }}$

$\ T(x,t)={\frac {120}{2{\pi }}}\,e^{-c4t}\,Sin(2x)+{\frac {120}{4{\pi }}}\,e^{-16t}\,Sin(4x)...\ {\frac {120}{n{\pi }}}\,e^{-cn^{2}t}\,Sin(nx)$ והרי לכם הפתרון של בעייה בממד אחד.

כיצד יש לגשת לבעיה?

א.נאפס תנאי שפה ואורך בצורה הבאה: $\ Sin[{\frac {n{\pi }x}{Length}}]$

*הערה:רק כאשר אורך הצינור הוא אינו פאי או כפולה של פאי.

משתמשים בנוסחא זו בכדי לסדר את תנאי השפה-אם נציב X=0 ו X=length תצא כפולה של פאי אשר מתאפסת.(לפי מחזוריות Sin)

*הערה: כאשר משנים תנאי שפה במשוואה שמעלים את N בריבוע, מעלים את מה שהצבנו בSin לא כולל הX והN!
*הערה: כאשר באחד מן הקצוות הטמפ' אינה 0, באינטגראל יש להוריד את פונ' הצינור המתאימה, לפרק לשתי טורי פורייה, ולהוסיף את הפונ' לתוצאה.

כשיש מצב בו אחד הצדדים של הצינור מבודד-נכפיל את הצינור בשתיים, ואז תיווצר בעיה חדשה עם אורך כפול . וזו הופכת לבעיה רגילה. כאשר שני הצדדים מבודדים נעשה אותו הליך של סידור תנאי שפה רק עם קוסינוס, כיוון שקוסינוס של פאי הוא 1- ושל שני פאי הוא 1. לכן בפתרון יצא או 1- או 1 כפול משוואת החום.

ב. עושים פוריה(עם ה An וכו'), עושים אינטגראל מ0 עד אורך הצינור, הצבה באינטגראל, הצבה של זוגי ואי זוגי ואורך הצינור אשר מתאפס בכל כפולה שלו. ומגלים את משוואת החום בכל מקום ובכל זמן.

פתרון לדו מימד

אחרי שגילנו שמשוואת החום בצינור היא $\ {\frac {dT}{dt}}=C{\frac {d^{2}T}{dX^{2}}}$ אנו רוצים לגלות את משוואת החום בדו מימד. לכן אם נצייר לעצמנו ריבוע שמורכב מצינור X וצינור Y אשר מבוזז בצדדיו ובקצוותיו טמפרטורה 0 המשוואה החדשה היא $\ {\frac {dT}{dt}}=c({\frac {d^{2}T}{dX^{2}}}+{\frac {d^{2}T}{dY2}})$שימו לב שהדבר גם הגיוני פשוט פירקנו את הבעיה לשתי בעיות של דו מימד.

*הערה:כאשר הצינור אינו מבודד בקצוותיו ומושפע גם מהם יהיה כפל במקום חיבור.

[[קטגוריה:תרמודינמיקה]] [[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות|חום משוואת]]

כל הזכויות שמורות לעודדי, יותם ודוראל.