מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
באלגברה , חוג חבורה הוא מודול חופשי מעל חוג R יחד עם פעולת כפל המתאימה לחבורה G .
לחוג החבורה חשיבות רבה בתחום תורת ההצגות .
יהא R חוג ו G חבורה, אז חוג החבורה
R
[
G
]
{\displaystyle \ R[G]}
מוגדר להיות כל הפונקציות f מ G ל R עם תומך סופי , כלומר
f
(
g
)
=
0
{\displaystyle \ f(g)=0}
פרט למספר סופי של
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים ע"י
(
f
1
+
f
2
)
(
g
)
=
f
1
(
g
)
+
f
2
(
g
)
{\displaystyle \ (f_{1}+f_{2})(g)=f_{1}(g)+f_{2}(g)}
(
α
⋅
f
)
(
g
)
=
α
(
f
(
g
)
)
{\displaystyle (\alpha \cdot f)(g)=\alpha (f(g))}
כאשר
f
1
,
f
2
,
f
∈
R
[
G
]
{\displaystyle \ f_{1},f_{2},f\in R[G]}
הם איברים בחוג,
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
ו
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in R}
הוא סקלר.
הכפל של שני איברים
f
1
,
f
2
∈
R
[
G
]
{\displaystyle \ f_{1},f_{2}\in R[G]}
מוגדר ע"י קונבולוציה
(
f
1
∗
f
2
)
(
g
)
=
∑
h
∈
G
f
1
(
h
)
⋅
f
2
(
h
−
1
g
)
{\displaystyle \ (f_{1}*f_{2})(g)=\sum _{h\in G}f_{1}(h)\cdot f_{2}(h^{-1}g)}
מאחר ו
f
1
,
f
2
{\displaystyle \ f_{1},f_{2}}
מתאפסות פרט למספר סופי של
g
∈
G
{\displaystyle \ g\in G}
אז הסכום הנ"ל סופי ולכן מוגדר היטב.
נסמן ב
χ
g
∈
R
[
G
]
{\displaystyle \chi _{g}\in R[G]}
את הפונקציה שמקבלת 1 ב g ואפס אחרת, אז כל איבר
f
∈
R
[
G
]
{\displaystyle \ f\in R[G]}
ניתן לייצוג ע"י
f
=
∑
g
∈
G
f
(
g
)
χ
g
{\displaystyle f=\sum _{g\in G}f(g)\chi _{g}}
כאשר הסכום הנ"ל סופי לפי הגדרת חוג החבורה. מכאן מקבלים שחוג החבורה נפרש כמודול ע"י הקבוצה
{
χ
g
∣
g
∈
G
}
{\displaystyle \{\chi _{g}\mid g\in G\}}
וניתן להראות שקבוצה זו מהווה בסיס למודול. הכפל של איברי החוג בייצוג זה מתקבל ע"י
(
∑
g
∈
G
α
g
χ
g
)
⋅
(
∑
h
∈
G
β
g
χ
h
)
=
∑
g
,
h
∈
G
α
g
β
h
χ
g
h
{\displaystyle (\sum _{g\in G}\alpha _{g}\chi _{g})\cdot (\sum _{h\in G}\beta _{g}\chi _{h})=\sum _{g,h\in G}\alpha _{g}\beta _{h}\chi _{gh}}
לעיתים נוהגים לסמן את
χ
g
{\displaystyle \ \chi _{g}}
ע"י איבר החבורה g ואז איברי חוג החבורה הם האיברים מהצורה
∑
α
g
⋅
g
{\displaystyle \sum \alpha _{g}\cdot g}
כאשר
α
g
∈
R
{\displaystyle \alpha _{g}\in R}
הם כולם אפס פרט למספר סופי.
תת החוג
{
α
⋅
e
∣
α
∈
R
}
{\displaystyle \ \{\alpha \cdot e\mid \alpha \in R\}}
של חוג החבורה
R
[
G
]
{\displaystyle \ R[G]}
(כאשר e הוא האיבר הנייטרלי של החבורה) איזומורפי לחוג R .
חבורת האיברים ההפיכים של חוג החבורה
R
[
G
]
{\displaystyle \ R[G]}
, מכילה תת חבורה איזומורפית לחבורה G - זו התת חבורה
{
1
⋅
g
∣
g
∈
G
}
{\displaystyle \{1\cdot g\mid g\in G\}}
(כאשר 1 הוא היחידה של החוג R ).
אם החוג R והחבורה G הם קומוטטיביים, אז גם חוג החבורה
R
[
G
]
{\displaystyle \ R[G]}
הוא קומוטטיבי.
אם H היא תת חבורה של G אז
R
[
H
]
{\displaystyle \ R[H]}
הוא תת חוג של
R
[
G
]
{\displaystyle \ R[G]}
. בצורה דומה, אם S הוא תת חוג של R אז
S
[
G
]
{\displaystyle \ S[G]}
הוא תת חוג של
R
[
G
]
{\displaystyle \ R[G]}
.
נניח עתה ש
R
=
k
{\displaystyle \ R=k}
הוא שדה.
עבור פונקציה
f
:
G
×
G
→
k
∗
{\displaystyle \ f:G\times G\rightarrow k^{*}}
נגדיר את
k
f
[
G
]
{\displaystyle \ k^{f}[G]}
להיות החוג עם אותו מבנה אדיטיבי כמו חוג החבורה, והכפל מוגדר ע"י
χ
g
⋅
χ
h
=
f
(
g
,
h
)
χ
g
h
{\displaystyle \chi _{g}\cdot \chi _{h}=f(g,h)\chi _{gh}}
על מנת שחוג זה יקיים את כלל האסוציאטיביות, הפונקציה f צריכה לקיים