משתמש:Omershlifka/טיוטה

בתורת ההסתברות, פונקציה יוצרת-הסתברות של משתנה מקרי, היא ייצוג ע"י טור חזקות של פונקציית ההסתברות של המשתנה המקרי.

הגדרה מתמטית

יהי $X$ משתנה מקרי המקבל ערכים שלמים אי-שליליים. אז עבור $s\in (0,1)$, פונקציה יוצרת הסתברות של $X$ היא

$$g_{X}(s):=\mathbb {E} [s^{X}]=\sum _{n=0}^{\infty }P(X=n)S^{n}$$

תכונות

נגזרת

עבור משתנה מקרי $X$, מתקיים $P(X=n)={\frac {g_{X}^{(n)}(0)}{n!}}$

יחידות

עבור משתנה מקרי $X$, הפונקציה $g_{X}(s)$קובעת את התפלגות $X$באופן יחיד

פונקציה יוצרת-הסתברות של סכום משתנים מקריים

עבור זוג משתנים מקריים בלתי תלויים, $X,Y$מתקיים שהפונקציה יוצרת-ההסתברות של הסכום שלהם היא $g_{X+Y}(s)=g_{X}(s)g_{Y}(s)$

יהי $N$משתנה מקרי, ויהיו $\{X_{i}\}_{i=1}$ סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות, ונסמן $T=X_{1}+...X_{N}$. אז הפונקציה יוצרת ההסתברות של $T$ היא

$$g_{T}(s)=g_{N}(g_{X_{1}}(s))$$