משתמש:Matanatz/ארגז חול

תורת המשחקים היא ענף של המתמטיקה המנתח מצבי עימות או שיתוף פעולה בין מקבלי החלטות, בעלי רצונות שונים. נדגים אפשרויות ליישומים של תורת המשחקים על ידי ניתוח סיטואציות מציאותיות באמצעות כלים מתורת המשחקים.

ניתוח משחק הטניס

במשחק הטניס כל משחקון נפתח בחבטת הגשה של אחד השחקנים (להלן המגיש) ליריבו (להלן המקבל). למגיש ישנם שני נסיונות להגשה, כך שאם יש שגיאה בהגשה הראשונה, לשחקן המגיש ישנו נסיון להגשה נוספת.

ניתוח עוצמת הגשת מכת הפתיחה

כיום בעולם הטניס המקצועני רוב שחקני הטניס מגישים את נסיון ההגשה הראשון שלהם בעוצמה רבה, ובמידה ויש צורך בהגשה שניה הם מגישים את ההגשה השנייה בעוצמה בינונית. נתוני עבר מראים שהגשה בעוצמה חזקה הינה תקינה (ללא שגיאה) בהסתברות 0.65 וההסתברות שהשחקן המגיש ינצח את המשחקון בהינתן שההגשה הייתה בעוצמה חזקה היא 0.75. בנוסף, הגשה בעוצמה בינונית הינה תקינה בהסתברות 0.9 וההסתברות שהשחקן המגיש ינצח את המשחקון בהינתן שההגשה הייתה בעוצמה בינונית היא 0.5. מבחינתו של השחקן המגיש, לכל משחקון ישנן שתי תוצאות אפשריות: ניצחון או הפסד. ברור, כי השחקן המגיש מעדיף את תוצאות הנצחון על ההפסד. ולכן מטרתו של המגיש היא למקסם את ההסתברות שהוא יזכה במשחקון. לשחקן המגיש ישנן ארבע אפשריות: ראשונה חזקה ובמקרה שנדרשת הגשה שנייה היא תהיה חזקה(S,S), ראשונה חזקה ובמקרה שנדרשת הגשה שנייה היא תהיה בינונית(S,M), ראשונה בינונית ובמקרה שנדרשת הגשה שנייה היא תהיה חזקה(M,S), ראשונה בינונית ובמקרה שנדרשת הגשה שנייה היא תהיה בינונית(M,M). כל אפשרות כזו משרה הגרלה מסויימת שתוצאותיה הן ניצחון או הפסד.

באיזו הגרלה עדיף לשחקן המגיש לבחור?

נערוך כעת את חישובי ההסתברויות לכל אפשרות:

$u(S,S)=0.65*(0.75*1+0.25*0)+0.35*0.65(0.75*1+0.25*0)=0.658125$

$u(S,M)=0.645$

$u(M,S)=0.49875$

$u(M,M)=0.495$

קיבלנו תחת מודל זה כי כדאי לשחקן המגיש לבחור באסטרטגיה של שתי הגשות בעוצמה חזקה, בניגוד לאסטרטגיה המקובלת כיום בעולם הטניס המקצועני.

ניתוח כיוון מכת הפתיחה

בכל משחקון, המגיש יכול לבחור אם לכוון את ההגשה מימין לשחקן המקבל או משמאל לשחקן המקבל. כיוון שהכדור מגיע אל השחקן המקבל במהירות רבה מאוד, על המקבל להחליט לפני חבטת המגיש אם להכין את גופו לכיוון ימין על מנת לענות לכדור המגיע לימינו או להכין את גופו לכיוון שמאל על מנת לענות לכדור המגיע לשמאלו. הכנה מתאימה של המקבל את גופו מגדילה משמעותית את סיכויו לענות על חבטת המגיש וכתוצאה מכך לנצח במשחקון.

נציג את הסיטואציה הנ"ל כמשחק בצורה אסטרטגית, שבו התשלומים לכל שחקן הם הסיכוי של השחקן לנצח במשחקון.

	מקבל בוחר ימין	מקבל בוחר שמאל
מגיש בוחר ימין	$\pi _{RR},1-\pi _{RR}$	$\pi _{RL},1-\pi _{RL}$
מגיש בוחר שמאל	$\pi _{LR},1-\pi _{LR}$	$\pi _{LL},1-\pi _{LL}$

כאשר,נניח כי סיכויי השחקן המגיש לנצח יהיו יותר גבוהים במהלך אם המגיש יגיש לכיוון ההפוך מהאסטרטגיה בה בחר המקבל. כלומר, מתקיים ש: $\pi _{RR}<\pi _{LR},\pi _{LL}<\pi _{RL}$

באופן דומה, אם המקבל יתכונן לכיוון אחר מהכיוון בו בחר המגיש אז סיכויי המגיש לנצח יהיו גבוהים יותר. כלומר מתקיים ש: $\pi _{RR}<\pi _{RL},\pi _{LL}<\pi _{LR}$

המסקנה מהאי שיוונים שהנחנו היא כי במשחק הנ"ל אין שיווי משקל נאש באסטרגיות טהורות:

1. התגובה הטובה ביותר של המגיש לבחירה של המקבל באסטרטגיה "ימין" היא בחירה באסטרטגיה "שמאל" כיוון ש $\pi _{RR}<\pi _{LR}$.
2. התגובה הטובה ביותר של המקבל לבחירה של המגיש באסטרטגיה "שמאל" היא בחירה באסטרטגיה "שמאל" כיוון ש $1-\pi _{LR}<1-\pi _{LL}\Leftrightarrow \pi _{LR}>\pi _{LL}$.
3. התגובה הטובה ביותר של המגיש לבחירה של המקבל באסטרטגיה "שמאל" היא בחירה באסטרטגיה "ימין" כיוון ש $\pi _{RL}>\pi _{LL}$.
4. תגובה הטובה ביותר של המקבל לבחירה של המגיש באסטרטגיה "ימין" היא בחירה באסטרטגיה "ימין" כיוון ש $1-\pi _{RL}<1-\pi _{RR}\Leftrightarrow \pi _{RL}>\pi _{RR}$.

נניח כעת שכל שחקן יכול לבחור באסטרטגיה מעורבת. כלומר, המגיש יכול להחליט שבהסתברות $x$ ישחק ימין ובהסתברות $1-x$ ישחק שמאל והמקבל יכול להחליט לשחק בהסתברות $y$ ימין ובהסתברות $1-y$ לשחק שמאל. משפט נאש מבטיח לנו כי במשחק קיים שיווי משקל באסטרטגיות מעורבות.

נניח רק לשם הדוגמה את הסיכויים הבאים:

	מקבל בוחר ימין	מקבל בוחר שמאל
מגיש בוחר ימין	$0.1,0.9$	$0.7,0.3$
מגיש בוחר שמאל	$0.8,0.2$	$0.4,0.6$

(אנחנו מניחים שידו החזקה של המקבל היא ימין וכי הוא מתקשה יותר בחבטות גב יד מאשר בחבטות כף יד ולכן במקרה זה $\pi _{LL}>\pi _{RR}$)

חישוב של שיווי משקל באסטרטגיות מעורבות מגלה כי האסטרטגיה המעורבות $(x^{*},y^{*})=(0.4,0.3)$ הינה שיווי משקל של המשחק באסטרטגיות מעורבות. התשלום לשחקן המגיש במקרה זה הוא $0.4*0.3*0.1+0.6*0.3*0.8+0.4*0.7*0.7+0.6*0.7*0.4=0.52$ והתשלום לשחקן המקבל הוא $0.4*0.3*0.9+0.6*0.3*0.2+0.4*0.7*0.3+0.6*0.7*0.6=0.48$.

המסקנה מניתוח זה היא שבשיווי משקל, ב60% מהמקרים המגיש בוחר להגיש לשמאלו של המקבל, בד בבד שהמקבל מכין עצמו להגשה שכזו ב70% מהמקרים.

האם במציאות שחקני הטניס נוקטים באסטרטגיות מעורבות?

במחקר שפורסם בשנת 2001 של Walker and Wooders נבדקה שאלה זו על ידי ניתוח מהלכי ההגשה והקבלה בעשרות משחקים של שחקני טניס מקצוענים כאשר ביניהם שחקני הטניס המהוללים ביורן בורג, ג'ון מקנרו, בוריס בקר ופיט סמפראס. קשה היה לבחון מצילומי הטלויזיה את כיוון הכנת הגוף של המקבל אך ניתן היה לראות האם המגיש הגיש לכיוון גב או כף היד של המקבל. על סמך עקרון האדישות, בשיווי משקל נאש לאסטרטגיות מעורבות צריך להתקיים כי סיכויי הזכייה של המגיש בנקודה זהים בין אם הוא מגיש לכיוון גב או כף ידו של המקבל. בתצפיותיהם של Walker and Wooders , עיקרון האדישות אומת, דבר המחזק את האפשרות שהשחקנים נוקטים באסטרטגיות מעורבות במשחק זה.

בנוסף, תחרות בשיווי משקל גוררת כי אסטרטגיות של כל שחקן ייבחרו באופן מקרי ובלתי תלוי באסטרטגיות אחרות במשך התחרות. המבחנים של Walker and Wooders הצביעו ששחקנים מחליפים את כיווני ההגשות משמאל לימין לעיתים תכופות מדי. מחקרים בפסיכולוגיה וכלכלה מראים שאנשים המנסים להתנהג באופן מקרי נוטים להחליף בחירות לעיתים תכופות מדי מה שמעיד לטענת Walker and Wooders על כך שהבחירות אינן בלתי תלויות. בעבודת המשך של Shih-Hsun Hsu, Chen-Ying Huang and Cheng-Tao Tang מ-2003 הוצגו ממצאים סטיסטיים המאששים את ההשערה כי אסטרטגיות השחקנים נבחרות באופן בלתי תלוי. בנוסף הם מצאו שבחירת ההגשה הנוכחית תלויה במשתנים שונים כמו איכות ההגשות הקודמות או משך זמן המשחק. ממצא זה הוביל אותם להראות כי ישנו מודל למידה שמתאר את המשחק בצורה מתאימה יותר מאשר שיווי משקל נאש.

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, הוצאת הספרים ע"ש י"ל מאגנס, 2008.
• אביעד חפץ, חשיבה אסטרטגית: תורת המשחקים ושימושיה בכלכלה וניהול, האוניברסיטה הפתוחה, 2008.
• Walker, M. and Wooders, J. (2001). “Minimax Play at Wimbledon,” American Economic Review 91, 1521-1538
• Hsu, S. H., C. Y. Huang, and C. T. Tang (2004): “Equilibrium at Wimbledon, or simple rules? An empirical study,” National Taiwan University Working Paper, p. 50.