מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה , סיכום בחלקים היא שיטת סיכום המעבירה סכום של מכפלת סדרות לסכום אחר שלעיתים מפשט את החישובים, בדומה לנוסחאת אינטגרציה בחלקים . נוסחאת הסיכום בחלקים נקראת לעיתים הטרנספורמציה של אבל או הלמה של אבל .
תהיינה
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}\,}
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}\,}
S
n
{\displaystyle S_{n}\,}
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}\,}
S
n
=
∑
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle \textstyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
אז מתקיים:
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
=
S
n
b
n
−
∑
k
=
1
n
−
1
S
k
(
b
k
+
1
−
b
k
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=S_{n}b_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}S_{k}(b_{k+1}-b_{k})}
אפשר לראות נוסחה זו כמקרה דיסקרטי של אינטגרציה בחלקים , אם נסמן
b
n
′
=
b
n
+
1
−
b
n
{\displaystyle {b_{n}}'=b_{n+1}-b_{n}\,}
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
=
S
n
b
n
−
∑
k
=
1
n
−
1
S
k
b
k
′
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=S_{n}b_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}S_{k}b_{k}'}
וניתן לראות את הדמיון לנוסחאת האינטגרציה בחלקים:
∫
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
F
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx}
